TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

72 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA
Dowód punktu 1 twierdzenia w przeciwną stronę, a więc że przekształcenie ściągalne
posiada logarytm, poprzedzimy ciekawym lematem, w którym wykorzystuje się mnożenie
liczb zespolonych.
Lemat 9.6.1. Niech X będzie przestrzenią zwarta a F : X × I → C ∗ homotopią taką, że
F (x, 0) = z0 dla wszystkich x ∈ X. Dla dowolnego otoczenia otwartego 1 ∈ U ⊂ C ∗ istnieją
funkcje G1, . . . Gn : X × I → U ⊂ C ∗ takie, że dla każdego x ∈ X zachodzi równość:
F (x, t) = z0G1(x, t) . . . Gn(x, t).
Dowód lematu.. Zbiory {zU}z∈C ∗ tworzą otwarte pokrycie C∗ . Zatem dzięki zwartości
X możemy wybrać liczbę ɛ > 0 taką, że jeśli |t − t ′ | < ɛ, to dla każdego x ∈ X,
F (x, t), F (x, t ′ ) ∈ zU dla pewnego z ∈ C ∗ . Niech 0 = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = 1
będzie podziałem odcinka takim, że |ti − ti+1| < ɛ. Dla j = 0, .., n − 1 zdefiniujemy funkcje
Gj(x, t) :=
F (x, j+1
n t)
F (x, j
n t)
Dowódu pkt. 1 Twierdzenia 9.6.1. =⇒ Niech f : X → C ∗ będzie ściągalne a
F : X × I → C ∗ będzie jego ściagnięciem, a więc homotopią taką, że F (x, 0) = z0 oraz
F (x, 1) = f(x). Korzystając z Lematu 9.6.1 rozłóżmy F na iloczyn: F (x, t) = z0G1(x, t) . . . Gn(x, t).
w którym Gj(x, t) ∈ {z ∈ C: arg(z) = π}. Ze Stw. 9.6.1 pkt.4 wiemy, że obcięcie odwzorowania
wykładniczego
p: {z ∈ C: − π < ℑ(z) < π} −→ {z ∈ C: arg(z) = π}
jest homeomorfizmem i oznaczmy jego odwrotność
log 0 : {z ∈ C: arg(z) = π} −→ {z ∈ C: − π < ℑ(z) < π}.
Niech w0 będzie dowolnym punktem takim, że p(w0) = z0. Definiujemy logarytm F wzorem:
˜F (x, t) := w0 + log 0(G1(x, t)) + · · · + log 0(Gn(x, t)).
Z tej definicji natychmiast widać, że ˜ F jest odwzorowaniem ciągłym, a z własności przekształcenia
wykładniczego, że p ˜ F = F .
9.7 Homotopijna klasyfikacja odwzorowań w C ∗ .
Dla dowolnej przestrzeni X zbiór odwzorowań Map (X, C ∗ ) posiada strukturę grupy abelowej,
wyznaczoną przez mnożenie liczb zespolonych – funkcje mnożymy mnożąc je w
każdym punkcie. W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać zbiór klas homotopii odwzorowań
[X, C ∗ ] = [X, S 1 ], który tę strukturę grupową dziedziczy, bowiem jeśli f0 ∼ f1, g0 ∼
g1 : X → C ∗ to ich iloczyny też są homotopijne: f0 · g0 ∼ f1 · g1.
Definicja 9.7.1. Zbiór H 1 (X) := [X, C ∗ ] = [X, S 1 ] z wyżej zdefiniowanym działaniem
będziemy nazywać (pierwszą) grupą kohomologii (lub kohomotopii) przestrzeni X.