TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

Rozdział 3
Wnętrze i domknięcie zbioru
Nie każdy podzbiór przestrzeni topologicznej jest otwarty lub domknięty. Dla danego podzbioru
przestrzeni można jednak wskazać zarówno jego punkty wewnętrzne, jak też punkty
leżące blisko tego zbioru, choć niekoniecznie do niego należące. Ta geometryczna intuicja
jest sformalizowana w postaci definicj operacji wnętrza i domknięcia zbioru. Poniżej niech
(X, T ) będzie ustaloną przestrzenią topologiczną.
3.1 Wnętrze zbioru
Definicja 3.1.1. Wnętrzem zbioru A ⊂ X nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję)
otwarty podzbiór w A, a więc sumę wszystkich podzbiorów otwartych zawartych w
A:
Int (X,T )(A) := {U | U ⊂ A, U ∈ T }
Uwaga 3.1.1. Oznaczenie Int (X,T )(A) podkreśla, że rozpatrujemy A jako podzbiór przestrzeni
(X, T ). Jeśli jest jasne z kontekstu w jakiej przestrzeni topologicznej położony jest
zbiór A stosowane są skrócone oznaczenia IntX(A), Int(A) lub ◦
A.
Stwierdzenie 3.1.1. Operacja brania wnętrza wyznacza odwzorowanie zbiorów potegowych
Int: P(X) → P(X) spełniające następujące warunki:
1. ∀A ⊂ X, Int(A) ⊂ A,
2. U ∈ T ⇐⇒ Int(U) = U,
3. Int(Int(A)) = Int(A),
4. Int(A) ∩ Int(B) = Int(A ∩ B).
Stwierdzenie 3.1.2. Punkt a ∈ Int(A) wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej bazy w punkcie
a istnieje zbiór U z tej bazy taki, że U ⊂ A.
13