TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

5.2. ŁUKOWA SPÓJNOŚĆ 33
Stwierdzenie 5.2.1. Jeśli przestrzeń (X, T ) jest łukowo spójna to jest spójna.
Dowód. Wybierzmy punkt x0 ∈ X oraz dla każdego innego punktu x ∈ X drogę ωx :
[0, 1] → X: ωx(0) = x0, ωx(1) = x. Wtedy X =
ωx([0, 1]), czyli jest sumą zbiorów
x∈X
spójnych o niepustym przecięciu: x0 ∈
ωx([0, 1]), a więc na podstawie Stw. 5.1.1 X
jest przestrzenią spójną.
x∈X
Przykład 5.2.1. Dowolny wypukły podzbiór W ⊂ R n przestrzeni euklidesowej R n jest
łukowo spójny. Dla punktów p0, p1 ∈ W definiujemy drogę je łączącą w zbiorze W , ω(t) :=
(1 − t)p0 + tp1. W szczególności kule euklidesowe są łukowo spójne, a więc także spójne.
Przykład 5.2.2. Podzbiór płaszczyzny euklidesowej
S = { (x, sin 1
x ) ∈ R2 : − 1
π
1
x , x = 0} ∪ { (0, y) : |y| 1 }
2π
jest spójny, lecz nie jest łukowo spójny (BCPP 4.2.3). Zauważmy, że
, x = 0}
S = { (x, sin 1
x ) ∈ R2 : − 1
π
x 1
2π
Stwierdzenie 5.2.2. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Relacja R w zbiorze
X:
R := {(x0, x1) ∈ X × X | ∃ ω:[0,1]→X ω(0) = x0, ω(1) = x1}.
(czyli dwa punkty są w relacji R jeśli istnieje droga je łącząca) jest relacją równoważności.
Dowód. Relacja R jest zwrotna, droga stała cx(t) = x łączy x z x. R jest także symetryczna:
jeśli ω : [0, 1] → X łączy x0 z x1 to droga ¯ω(t) := ω(1−t) łączy x1 z x0. Pozostaje wykazać
przechodniość. Niech ω1 : [0, 1] → X łączy x0 z x1 a ω2 : [0, 1] → X łączy x1 z x2.
Zdefiniujemy drogę ω jako złożenie dróg
Droga ω łączy x0 z x2.
ω(t) := (ω1 ⋆ ω2)(t) =
ω1(2t) dla 0 t 1
2
ω2(2t − 1) dla 1
2
t 1
Przykład 5.2.3. Podzbiór G ⊂ R n nazywamy gwiaździstym jeśli istnieje punkt p0 ∈ G taki,
że dla dowolnego p ∈ G odcinek [p0, p] ⊂ G. Dowolny zbiór gwiaździsty jest łukowo spójny.
Dowolny punkt x ∈ G można połączyć z x0 drogą afiniczną ω(t) := (1 − t)x + tx0.
.