TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

9.7. HOMOTOPIJNA KLASYFIKACJA ODWZOROWAŃ W C ∗ . 73
Ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, więc dla dowolnej przestrzeni
grupa H 1 (X) jest abelowa.
Stwierdzenie 9.7.1. Przyporządkowanie przestrzeni topologicznej X grupy H 1 (X) ma
następujące własności:
1. Dla dowolnego przekształcenia φ: X → Y przekształcenie φ ∗ : H 1 (Y ) → H 1 (X) dane
wzorem φ ∗ (f) := f ◦ φ jest homomorfizmem grup.
2. Jeśli przekształcenia φ0, φ1 : X → Y są homotopijne, to φ ∗ 0 = φ∗ 1
3. Dla dowolnych dwóch przestrzeni X1X2 włożenia zadają izomorfizm grup
H 1 (X1 ⊔ X2) −→ H 1 (X1) × H 1 (X2).
Dowód.
Ad 1. φ ∗ (f · g)(x) := (f · g)(φ(x)) = f(φ(x) · g(φ(x)) = φ ∗ (f) · φ ∗ (g).
Ad 2. To jest szczególny przypadek Wniosku 9.1.1.
Ad 3. Włożenia ι1 : X1 ⊂ X1 ⊔ X2 i ι2 : X2 ⊂ X1 ⊔ X2 zadają homorfizm grup
(ι #
1 , ι# 2 ): H1 (X1 ⊔ X2) −→ H 1 (X1) × H 1 (X2).
Z definicji sumy prostej łatwo sprawdzić, że jest on bijekcją.
Dla dowolnej przestrzeni ściągalnej H 1 (X) = 0. Zajmiemy się więc obliczeniem grupy
H 1 (S 1 ), czyli zbadaniem zbioru klas homotopii [S 1 , C ∗ ] = [S 1 , S 1 ]. Rozpoczniemy od zdefiniowania
stopnia przekształcenia S 1 → C ∗ (zwanego też indeksem pętli względem punktu
0). Korzystając z Stw.9.5.2 bedziemy utożsamiać odwzorowania S 1 → X z drogami xamkniętymi,
czyli pętlami [0, 1] → X i oznaczać je tą samą literą.
Niech α: [0, 1] → C ∗ będzie drogą zamkniętą. Ponieważ odcinek jest przestrzenią ściągalną,
na mocy Twierdzenia 9.6.1 odwzorowanie α posiada logarytm ˜α: [0, 1] → C. Zdefiniujemy
stopień α:
deg(α) := 1
(˜α(1) − ˜α(0)).
2πi
Stwierdzenie 9.7.2. Przyporządkowanie pętli α: [0, 1] → C ∗ jej stopnia deg(α) ma następujące
własności:
1. Wartość deg(α) nie zależy od wyboru logarytmu ˜α i jest liczbą całkowitą.
2. Jeśli α0 ∼ α1 : S 1 → C ∗ są homotopijne, to deg(α0) = deg(α1).
3. Dla dowolnych α, β : S 1 → C ∗ zachodzi: deg(αβ) = deg(α) + deg(β).
4. Dla dowolnej liczby całkowitej n ∈ Z odwzorowanie φn : S 1 → C ∗ , φn(z) := z n , ma
stopień n.