TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

28 ROZDZIAŁ 5. SPÓJNOŚĆ I ŁUKOWA SPÓJNOŚĆ
(2) =⇒ (3) Jeśli f : (X, T ) → ({0, 1}, Tδ) jest ciągłe, to przeciwobrazy f −1 (0), f −1 (1)
są rozłącznymi zbiorami otwarto – domkniętymi, a zatem jeden z nich musi być zbiorem
X a drugi zbiorem pustym. A to oznacza, że f jest stałe.
(2) ⇐= (3) Jeśli U ⊂ X jest podzbiorem otwarto-domkniętym różnym od ∅, X to
1 dla x ∈ U
definujemy funkcję ciagłą f(x) :=
, która nie jest stała.
0 dla x /∈ U
Wniosek 5.1.1 (Podzbiory spójne).
1. Jeśli f : (X, TX) → (Y, TY ) jest ciągłą surjekcją określoną na spójnej przestrzeni
(X, TX) to (Y, TY ) też jest spójna.
2. Jeśli C ⊂ X jest zbiorem spójnym to dowolny podzbiór A taki, że
C ⊂ A ⊂ cl(C) jest też spójny.
3. Jeśli X =
Ci jest suma spójnych podzbiorów Ci oraz istnieje zbiór Ci0 taki, że dla
i∈I
każdego i ∈ I, Ci0 ∩ Ci = ∅, to X jest przestrzenią spójną.
Dowód.
Ad 1. Jeśli (Y, TY ) nie jest spójna, to istnieje rozkład się na sumę niepustych, otwartych
rozłącznych podzbiorów Y = V1 ∪ V2. Wtedy
X = f −1 (V1) ∪ f −1 (V2) jest rozkładem przestrzeni X na sumę niepustych, otwartych
rozłącznych podzbiorów, a więc (X, T ) nie byłaby spójna.
Ad 2. Niech f : A → {0, 1} będzie odwzorowaniem ciągłym. Skoro C jest zbiorem
spójnym, to f|A jest stała. Ponieważ clA(C) = clX(C) ∩ A = A, więc funkcja f jest stała
na zbiorze A.
Ad 3. Niech f : X → {0, 1} będzie funkcją ciągłą. Z założenia f : Ci → {0, 1} jest stała,
wystarczy więc zauważyć, że jej wartość nie zależy od i. Wynika to stąd, że ∀i∈ICi0 ∩Ci = ∅
a więc na każdym zbiorze Ci funkcja fi przybiera tę sama wartość co na Ci0.
Przy pewnych dodatkowych założeniach zachodzi twierdzenie odwrotne do 5.1.1 pkt.1:
Stwierdzenie 5.1.3. Niech p : (X, TX) → (Y, TY ) będzie odwzorowaniem ilorazowym 1 na
przestrzeń spójną (Y, TY ). Jeśli przeciwobraz f −1 (y) dowolnego punktu y ∈ Y jest zbiorem
spójnym, to (X, TX) jest przestrzenią spójną.
Dowód. Niech φ : (X, TX) → ({0, 1}, Tδ) będzie odwzorowaniem ciagłym. Dla dowolnego
y ∈ Y obcięcie φ: f −1 (y) → {0, 1} jest stałe, a więc odwzorowanie ¯ φ: Y → {0, 1}, ¯ φ(y) :=
φ(x) gdzie p(x) = y jest dobrze zdefiniowane. Jest także ciągłe, bo złożenie p ◦ ¯ φ = φ jest
ciągłe, a p jest ilorazowe. Ponieważ (Y, TY ) jest spójna, więc odwzorowanie ¯ φ jest stałe, a
zatem φ jest stałe, co dowodzi spójności (X, TX).
Stwierdzenie 5.1.4. Niech dane będzie pokrycie przestrzeni spójnej (X, T ) zbiorami otwartymi
U := {Ut}t∈T Każde dwa punkty a, b ∈ X dają się połączyć skończonym łańcuchem
złożonym ze zbiorów z rodziny U, tzn. istnieją wskaźniki t0, . . . , tn ∈ T takie, że
a ∈ Ut0, b ∈ Utn oraz Uti ∩ Uti+1 = ∅ dla i = 0, . . . n − 1.
1 Odwzorowanie nazywa się ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz TY = p∗TX