TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

10 ROZDZIAŁ 2. GENEROWANIE TOPOLOGII I BAZA
2. Rodzinę kul otwartych o promieniach wymiernych.
3. Rodzinę kul otwartych o promieniach 1
n
i wiele innych.
2.2 Baza topologii
dla n = 1, 2, 3....
Definicja 2.2.1 (Baza topologii). Podrodzinę B ⊂ T nazywamy bazą topologii T jeśli
dowolny zbiór U ∈ T jest sumą mnogościową pewnych zbiorów należących do B.
Jeśli przestrzeń topologiczna posiada bazę przeliczalną, to mówimy że spełnia II aksjomat
przeliczalności.
Rodzina B ⊂ T jest bazą topologii T wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu
x ∈ X oraz zbioru otwartego U ∋ x istnieje zbiór V ∈ B taki, że x ∈ V ⊂ U. Istotnie, jest
to warunek równoważny stwierdzeniu, że U jest sumą zbiorów należących do B. W zapisie
logicznym warunek, że zbiór jest otwarty, wyrazony w terminach bazy jest nastepujący:
U ∈ T ⇐⇒ ∀x∈U ∃V ∋B x ∈ V ⊂ U.
Jeśli B ⊂ T jest bazą topologii T to oczywiście B generuje topologię T , przy czym w
opisanej wyżej procedurze generowania topologii przez rodzinę zbiorów wystarczy dokonać
kroku drugiego, bowiem definicji bazy przecięcie skończenie wielu zbiorów otwartych jest
sumą zbiorów z B.
Stwierdzenie 2.2.1. Rodzina B ⊂ P(X) jest bazą topologii T (B) generowanej przez rodzinę
B wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:
(B1) ∀x∈X ∃V ∈B x ∈ V , czyli {U | U ∈ B} = X
(B2) ∀V1,V2∈B ∀x∈V1∩V2 ∃V ∈B x ∈ V ⊂ V1 ∩ V2
Stwierdzenie 2.2.2. Niech T1, T2 będą topologiami w zbiorze X a B1 ⊂ T1, i B2 ⊂ T2
odpowiednio pewnymi ich bazami. Inkluzja topologii T1 ⊂ T2 zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego punktu x ∈ X i zbioru bazowego U1 ∈ B1 takiego, że x ∈ U1 ∈ B1 istnieje
zbiór U2 taki, ze x ∈ U2 ⊂ U1.
Definicja 2.2.2. Mówimy, że rodzina podzbiorów {As}s∈S zbioru X jest jego pokryciem
jeśli
As = X .
s∈S
Stwierdzenie 2.2.3. Jeśli przestrzeń (X, T ) posiada bazę przeliczalną, to z każdego pokrycia
X zbiorami otwartymi {Us}s∈S ⊂ T można wybrać podpokrycie przeliczalne, czyli
istnieją wskaźniki s1, s2, ... ∈ S takie, że ∞
= X.
Usi
i=1
Ostatnie stwierdzenie wynika natychmiast z następującego lematu teorio-mnogościowego: