TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

32 ROZDZIAŁ 5. SPÓJNOŚĆ I ŁUKOWA SPÓJNOŚĆ
Bardzo ważna własność przypisania przestrzeni X zbioru π ′ 0 (X) polega na tym, że
przekształceniom ciągłym między przestrzeniami mozna w ”naturalny” sposób przypisać
odwzorowania zbiorów. Dokładniej:
Stwierdzenie 5.1.7. Dowolne odwzorowanie ciągłe (X, TX) f −→ (Y, TY ) definiuje odwzorowanie
zbiorów:
f# : π ′ 0(X) → π ′ 0(Y ), f#(C) := składowa zawierająca f(C)
przy czym (IdX)# = Id oraz jeśli (X, TX) f −→ (Y, TY ) g −→ (Z.TZ) to zachodzi równość
(g ◦ f)# = g# ◦ f#.
Dowód. Odwzorowanie f#(C) := składowa zawierająca f(C) jest dobrze zdefiniowane, bowiem
f(C) jest zbiorem spójnym, a więc istnieje dokładnie jedna składowa przestrzeni X,
która go zawiera.
Sprawdzimy, że (g ◦ f)# = g# ◦ f#. Z definicji
(g ◦ f)#(C) = g(składowa zawierająca f(C)),
a więc jest maksymalnym zbiorem spójnym E1 ⊃ g(D) ⊃ g(f(C)), gdzie D ⊃ f(C) jest
składową przestrzeni (Y, TY ). Z drugiej strony
(gf)#(C) = {składowa zawierająca g(f(C))} := E2,
przy czym E1 ∩ E2 ⊃ g(f(C)) Suma zbiorów spójnych E1 ∪ E2 jest więc zbiorem spójnym,
a z maksymalności E1 i E2 wynika, że E1 = E2.
Wniosek 5.1.4. Jeśli (X, TX) f −→ (Y, TY ) jest homeomorfizmem, to π ′ f#
0 (X) −→ π ′ 0 (Y ) jest
bijekcją .
Dowód. Niech (Y, TY ) g −→ (X, TX) będzie odwzorowaniem odwrotnym, czyli g ◦ f = IdX
oraz f ◦ g = IdY . Z Stw. 5.1.7 otrzymujemy, że g# ◦ f# = (g ◦ f)# = IdX oraz f# ◦ g# =
(f ◦ g)# = IdY , a więc f# i g# są bijekcjami.
Wniosek 5.1.5. Jeśli (X, TX) h −→ (Y, TY ) jest homeomorfizmem, to dla dowolnego podzbioru
A ⊂ X, obcięcie h: X \A → Y \h(A) też jest homeomorfizmem, a więc definiuje bijekcję
zbiorów π ′ h#
0 (X \ A) −−→ π ′ 0 (Y \ h(A)).
Uwaga 5.1.3. Skorzystaliśmy z tego argumentu w szczególnym przypadku w dowodzie Tw.
5.1.1, wykazując że różne przedziały standardowe na prostej nie są homeomorficzne.
5.2 Łukowa spójność
Często łatwiejsze niż bezpośrednie wykazanie spójności jest sprawdzenie silniejszej, lecz
bardziej geometrycznej własności przestrzeni, zwanej łukową spójnością.
Definicja 5.2.1. Przestrzeń topologiczna (X, T ) jest łukowo spójna jeśli dla dowolnych
punktów x0, x1 ∈ X istnieje odwzorowanie ciągłe (zwane drogą) ω : [0, 1] → X: ω(0) =
x0, ω(1) = x1.