TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

4.5. SUMA PROSTA 25
Stwierdzenie 4.5.1 (Sumy proste odwzorowań).
1) Odwzorowanie f :
(Xs, Ts) → (Y, TY ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
s∈S
t ∈ S złożenie (Xt, Tt) jt
−→
s∈S
(Xs, Ts) f −→ (Xt, Tt) jest odwzorowaniem ciagłym.
2) Dla dowolnej rodziny odwzorowań ciągłych {(Xs, Ts) fs
−→ (Y, TY )}s∈S istnieje dokładnie
jedno odwzorowanie ciągłe
(Xs, Ts) f −→ (Y, TY ) takie, że dla każdego s ∈ S zachodzi
równość f ◦ js = fs.
s∈S
Podobnie jak w przypadku iloczynów kartezjańskich zbadamy zachowanie poznanych
własności topologii ze wzgledu na sumy proste. Jest to jednak dużo łatwiejsze.
Stwierdzenie 4.5.2.
1. Suma prosta
s∈S
(Xs, Ts) jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest przestrzenią Hausdorffa.
2. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia I aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy,
gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności.
3. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia II aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy,
gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności i co najwyzej przeliczalnie
wiele jest niepustych.
4. Suma prosta rodziny przestrzeni jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
składniki są przestrzeniami ośrodkowymi i co najwyzej przeliczalnie wiele jest niepustych.
5. Suma prosta
(Xs, Ts) jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla
s∈S
każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest metryzowalna.
Dowód. Dowody punktów 1-4 jako bardzo łatwych pomijamy.
Ad 5. =⇒ Jeśli
(Xs, Ts) jest przestrzenią metryzowalną to dowolna jej podprze-
s∈S
strzeń, zatem także (Xs, Ts) jest przestrzenią metryzowalną.
⇐= Jeśli dana jest rodzina przestrzeni metrycznych {(Xs, ds)}s∈S to w zbiorze
określamy metrykę:
d(((x, s), (x ′ , t)) =
d ′ s(x, x ′ ) jeśli s = t
1 jeśli s = t
gdzie d ′ s(x, x ′ ) := min(ds(x, x ′ ), 1). W tej metryce kule o środku w punkcie (x, s) ∈
Xs
s∈S
promieniu < 1 są identyczne jak kule w metryce ds w zbiorze Xs. Stąd wynika, że metryka
d ′ definiuje topologię T∗(j).
Zauważmy, że tak jak w przypadku metryki w produkcie kartezjańskim musielismy
”obciąć” metryki di (nawet w przypadku sumy dwóch przestrzeni!), tym razem po to, aby
spełniona była nierówność trójkąta.
s∈S
Xs i