TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

40 ROZDZIAŁ 6. ZWARTOŚĆ
6.2 Zwartość a operacje na przestrzeniach
Podprzestrzenie
Twierdzenie 6.2.1.
1. Jeśli podprzestrzeń w przestrzeni Hausdorffa (A, T |A) ⊂ (X, T ) jest zwarta to A ⊂ X
jest podzbiorem domkniętym.
2. Jeśli (X, T ) jest przestrzenią zwartą i A ⊂ X podzbiorem domknietym, to przestrzeń
(A, T |A) jest zwarta.
Dowód. Ad 1. Załóżmy, że (A, T |A) ⊂ (X, T ) jest zwarta i niech x /∈ A. Wtedy dla każdego
punktu a ∈ A istnieją rozłączne otoczenia Ua ∋ a oraz Va ∋ x. Zbiory {Ua ∩ A}a∈A tworzą
otwarte pokrycie A, a więc można z niego wyjąć pokrycie skończone Ua1 ∪ · · · ∪ Uan ⊃ A.
Przecięcie V := Va1 ∩ · · · ∩ Van jest rozłączne z Ua1 ∪ · · · ∪ Uan, a zatem x ∈ V ⊂ X \ A.
Ad 2. Niech (X, T ) będzie przestrzenią zwartą, a A ⊂ X jesj podzbiorem domkniętym.
Z Stw. 4.2.3 wiemy, że (A, T |A) jest przestrzenią Hausdorffa. Rozpatrzmy więc pokrycie
otwarte {Vs}s∈S przestrzeni (A, T |A). Z definicji topologii podprzestrzeni wynika, ze istnieją
zbiory Us ∈ T takie, że Vs = Us ∩ A. Rozpatrzmy pokryciem otwarte przestrzeni
X zbiorami {Vs}s∈S ∪ {X \ A}. Ponieważ (X, T ) jest zwarta z tego pokrycia można wybrać
pokrycie skończone, a więc skończoną liczbe zbiorów Us1 ∪ · · · ∪ Usn ⊃ A co kończy
dowód.
Z ostatniego twierdzenia wynikaja wnioski bardzo uzyteczne przy sprawdzaniu, czy
dwie przestrzenie są homeomorficzne.
Wniosek 6.2.1. Niech f : (X, TX) → (Y, TY ) będzie odwzorowaniem ciagłym określonym
na przestrzeni zwartej (X, TX) o wartościach w przestrzeni Hausdorffa (Y, TY ). Wtedy:
1) f jest odwzorowaniem domkniętym (a więc ilorazowym).
2) jeśli f jest bijekcją, to jest homeomorfizmem.
Wniosek 6.2.2. Jeśli (X, T1) jest przestrzenią zwartą a T2 topologią Hausdorffa w X taką,
że T2 ⊂ T1, to T2 = T1.
Iloczyn kartezjański
Twierdzenie 6.2.2 (A.N. Tichonow1 ). Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych
(Xs, Ts) jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki (Xs, Ts)
s∈S
są przestrzeniami zwartymi.
Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia Tichonowa sformułujemy bardzo ważny,
mający wiele zastosowań lemat o tubie.
1 Andrei Nikolaevich Tikhonov (Gzhatska, Smoleńsk 1906 – 1993 Moskwa) – matematyk rosyjski [Mac Tutor]