TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

9.6. ODWZOROWANIE WYKŁADNICZE I LOGARYTM 71
Dowód.
Ad 1. Wynika bezpośrednio z Tw. 9.6.1 pkt. 2.
Ad 2. Załóżmy, że X jest przestrzenią spójną. Wykażemy, że zbiór
{x ∈ X : ˜ f1(x) = ˜ f2(x)}
jest otwarto – domknięty. Domkniętość wynika stąd, że C jest przestrzenią Hausdorffa.
Wykażemy, że jest także otwarty. Jeśli dla pewnego punktu ˜ f1(x) = ˜ f2(x) = z0 to możemy
wybrać pewien pas Uk(z) ∋ z0 oraz otoczenie V ∋ x takie, że ˜ fi(V ) ⊂ Uk(z) dla i = 1, 2.
Z definicji logarytmu zachodzą równości p ˜ f1 = p ˜ f2 = f. Ponieważ p: Uk(z) → C ∗ jest
różnowartościowe, więc stąd wynika, że ˜ f1(x ′ ) = ˜ f2(x ′ ) dla x ′ ∈ U. Jedynym niepustym
podzbiorem otwarto–domknietym przestrzeni spójnej jest cała przestrzeń, a więc ˜ f1 = ˜ f2
na X.
Ad 3. Niech x0 ∈ X; z własności funkcji wykładniczej (Tw. 9.6.1) wynika istnienie
liczby całkowitej k ∈ Z takiej, że ˜ f1(x0) = ˜ f2(x0) + 2kπi. Z punktów 1,2 wynika, że
˜f1(x) = ˜ f2(x) + 2kπi dla wszystkich x ∈ X.
Wniosek 9.6.1. Niech f : X → C ∗ będzie odwzorowaniem ciągłym. Załóżmy, że istnieje
pokrycie X = A1 ∪ A2 gdzie oba zbiory są otwarte, albo oba sa domknięte, ich przecięcie
A1 ∩A2 jest spójne, oraz obcięcie przekształcenia f|Ai posiada logarytm dla i = 1, 2. Wtedy
przekształcenie f posiada logarytm.
Dowód. Niech ˜ fi : Ai → C dla i = 1, 2 będą logarytmami. Oznaczmy A12 := A1 ∩ A2. Ze
Stw. 9.6.2 wnioskujemy, że istnieje k ∈ Z takie, że ˜ f1|A12 + 2kπi = ˜ f2|A12. Stąd formuła
określa logarytm f na X.
˜f(p) :=
˜f1|A12(p) + 2kπi dla p ∈ A1
˜f2|A12(p) dla p ∈ A2
Twierdzenie 9.6.1 (S. Eilenberg 3 ). Niech X będzie przestrzenią zwartą.
1) Odwzorowanie f : X → C ∗ jest ściągalne wtedy i tylko wtedy, gdy posiada logarytm.
2) Dwa odwzorowania f, g : X → C ∗ są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloraz f/g
posiada logarytm.
Dowód. Ad 1. ⇐= Niech ˜ f : X → C będzie logarytmem tzn. p ◦ ˜ f = f. Ponieważ
przestrzeń C jest ściągalna, a więc przekształcenie ˜ f jest ściagalne, a zatem złożenie z
dowolnym innym przekształceniem jest ściągalna. Nb. homotopia może być łatwo zapisana
wzorem H : X × I → C ∗ , H(x, t) := p(t ˜ f(x)).
Ad 2. Jeśli f ∼ g i F : X × I → C ∗ jest homotopią między nimi, to
H(x, t) := F (x, t)/g(x) jest homotopią między odwzorowanien stałym w 1 ∈ C ∗ a f/g.
Odwrotnie, jeśli H(x, t) jest homotopia między f/g a odwzorowaniem stałym w 1 ∈ C ∗ ,
to iloczyn H(x, t)g(x) jest homotopią między f i g.
3 Samuel Eilenberg (Warszawa 1913 – 1998 New York)