TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

68 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA
Zamiast odzwzorowań zdefiniowanych na okręgu S 1 ⊂ R 2 wygodnie jest rozważać zamknięte
drogi (pętle) czyli odzwzorowania określone na odcinku ω : [0, 1] → X takie, że
ω(0) = ω(1). Nawet jesli interesują nas pętle, to pożyteczne jest też rozpatrywanie dróg o
różnych początku i końcu.
Stwierdzenie 9.5.2. Niech (X, TX) będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie
p: [0, 1] → S 1 dane wzorem p(t) := (cos 2πt, sin 2πt) ustanawia bijekcję między zbiorem
dróg zamkniętych (pętli) w X tzn. odwzorowań ω : [0, 1] → X takich, że ω(0) = ω(1) a
zbiorem odwzorowań S 1 → X.
Dowód. Dowolnemu odwzorowaniu α: S 1 → X przypisujemy drogę zamkniętą αp :=
p ◦ α: I → X. Odwrotnie, jeśli ω : [0, 1] → X jest drogą zamkniętą, to odwzorowanie
ω p : S 1 → X, ω p (z) := ω(t) gdzie p(t) = z jest dobrze zdefiniowane i jest ciągłe, ponieważ
p jest odwzorowaniem ilorazowym (a nawet domkniętym).
Przypomnijmy z GAL, że odwzorowanie f : [a, b] → R n nazywa się afiniczne jeśli zachowuje
kombinacje wypukłe tzn. dla każdego t ∈ [0, 1] zachodzi równość
f((1 − t)a + tb) = (1 − t)f(a) + tf(b).
Obrazem przekształcenia afinicznego jest odcinek euklidesowy łączący punkty f(a) i f(b).
Definicja 9.5.2.
1) Drogę ω : I → A ⊂ R n nazywamy kawałkami afiniczną (lub kawałkami liniową) jeśli
istnieje podział odcinka 0 = t0 < · · · < tn−1 < tn = 1 taki, że obcięcia ω|[ti, ti+1] są
przekształceniami afinicznymi.
2) Drogę ω : [0, 1] → R n nazywamy łamaną jeśli jest afiniczna i jest przekształceniem
różnowartościowym (a więc homeomorfizmem ω : [0, 1] −→ ω([0, 1])).
Lemat 9.5.1. Dla dowolnej drogi α: [0, 1] → R n i liczby ɛ > 0 istnieje droga kawałkami
afiniczna β : [0, 1] → R n taka, że α(0) = β(0), α(1) = β(1) oraz dsup(α, β) < ɛ.
Dowód. Pokryjmy obraz α([0, 1]) kulami euklidesowymi o środkach x ∈ α([0, 1]) i promieniach
ɛ: {B(x, ɛ)} x∈α([0,1]) i rozpatrzmy pokrycie odcinka przeciwobrazami {α −1 (B(x, ɛ))} x∈α([0,1]).
Niech λ > 0 będzie liczbą Lebesgue’a tego pokrycia a 0 = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = 1
podziałem odcinka takim, że |ti −ti+1| < λ. Niech βi : [ti, ti+1] → R n będzie drogą afiniczną
łączącą punkt α(ti) z α(ti+1). Definiujemy kawałkami afiniczną drogę β(s) := βi(s) jesli
ti s ti+1. Oczywiście dsup(α, β) < ɛ.
Twierdzenie 9.5.1. Dla n > 1 sfera S n jest jednospójna, a nawet dowolne odwzorowanie
S k → S n gdzie k < n jest ściągalne.
Dowód. Niech α: I → S n będzie dowolną pętlą (tzn. α(0) = α(1) = p0). Pokażemy, że
jest ona homotopijna z pętlą, której obraz nie jest całą sferą, a więc zawartą w zbiorze
ściągalnym S n \ {p} R n . Rozważmy naszą pętlę jako odwzorowanie w całą przestrzeń
euklidesową α: I → S n ⊂ R n+1 i korzystając z Lematu 9.5.1 wybierzmy kawałkami afiniczną
petlę zaczepioną w p0 β : I → R n+1 taką, że dsup(α, β) < 1. Wynika stąd, że