TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

9.7. HOMOTOPIJNA KLASYFIKACJA ODWZOROWAŃ W C ∗ . 75
Wniosek 9.7.3 (Twierdzenie Brouwera dla n 2). Dowolne odwzorowanie f : D n → D n ,
dla n 2, ma punkt stały.
Dowód. Jeśli f : D n → D n byłoby przekształceniem bez punktów stałych, to istniałaby
retrakcja r : D n → S n−1 zdefiniowana następująco: r(x) jest punktem przecięcia półprostej
f(x)+t(x−f(x)) dla t 1 ze sferą S n . Pokazaliśmy, że sfera S n−1 nie jest retraktem dysku
D n dla n 2, więc dla tych wymiarów twierdzenie Brouwera jest w pełni udowodnione.
Piekną ilustracją jedności matematyki jest to, że kurs topologii kończy się dowodem
podstawowego twierdzenia algebry, powiadającego, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie
domknięte.
Wniosek 9.7.4 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Dowolny wielomian dodatniego stopnia
o współczynnikach zespolonych posiada pierwiastek zespolony.
Dowód. Niech w(z) = zn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 będzie wielomianem takim, że
w(z) = 0 dla z ∈ C, zadaje więc odwzorowanie wielomianowe w : C → C∗ . Ponieważ C
jest przestrzenią ściągalną, więc odwzorowanie w obcięte do dowolnego jej podzbioru, w
szczególności S1 ⊂ C, jest odwzorowaniem ściągalnym. Z drugiej strony fomuła
H(z, t) := z n + tan−1z n−1 + · · · + t n−1 a1z + t n
tn z w(
a0 = t ) dla t = 0
zn dla t = 0
zadaje homotopię H : S 1 × [0, 1] → C ∗ między H(z, 0) = z n := φn(z) i H(z, 1) = w(z), a
więc deg(w) = n > 0, co oznacza, że otrzymaliśmy sprzeczność.
Uwaga 9.7.2. Zasadnicze twierdzenie algebry oczywiście nie zachodzi dla ciała liczb rzeczywistych,
natomiast zachodzi dla wielomianów o współczynnikach w ciele kwaternionów
(które nie jest przemienne). Dowód opiera się na nieściągalności sfery S 4 = H ∪ {∞} gdzie
H oznacza ciało kwaternionów. 6
Wniosek 9.7.5 (Twierdzenie Borsuka 7 – Ulama 8 o antypodach dla n 2). Dla dowolnego
odwzorowania ciągłego f : S n → R n , gdzie n 2, istnieje punkt p ∈ S n taki, że
f(p) = f(−p).
Dowód. Załóżmy, że istnieje odwzorowanie f : S n → R n takie, że dla każdego p ∈ S 2 ,
f(p) = f(−p). Zdefiniujmy odwzorowanie g : S n → R n \ {0}, g(p) := f(p) − f(−p). Sferę
S n−1 można traltować jako podzbiór S n (”równik”) a obcięcie odwzorowania g|S n−1
jest ściągalne (bowiem rozszerza się górną półsferę, czyli dysk) oraz spełnia warunek
g(−z) = −g(z).
Dla n = 1 jest to niemożliwe, bo odwzorowanie S 0 → R\{0} jest homotopije ze stałym
wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje wartości stałego znaku, co warunek g(−z) = −g(z)
wyklucza.
6
Samuel Eilenberg and Ivan Niven. The “fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer.
Math. Soc. Volume 50, Number 4 (1944), pp. 246-248.
7
Karol Borsuk (Warszawa 1905 - 1982 Warszawa) [Mac Tutor]
8
Stanisław Ulam (Lwów 1909 - 1984 Santa Fe, New Mexico, USA) solved the problem of how to initiate
fusion in the hydrogen bomb. He also devised the ’Monte-Carlo method’ widely used in solving mathematical
problems using statistical sampling.[Mac Tutor]