TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

More documents

Recommendations

Info

22 ROZDZIAŁ 4. KONSTRUKCJE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH 1) Odwzorowanie f : (Y, TY ) → s∈S (Xs, Ts) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy współ- rzędne odwzorowania f, czyli zdefiniowane dla każdego t ∈ S złożenia (Y, TY ) (Xs, Ts) pt −→ (Xt, Tt) są ciągłe. s∈S 2) Dla rodziny odwzorowań ciągłych {(Y, TY ) odwzorowanie ciągłe (Y, TY ) f −→ ps ◦ f = fs. s∈S f −→ fs −→ (Xs, Ts)}s∈S istnieje dokładnie jedno (Xs, Ts) takie, że dla każdego s ∈ S współrzędna Dowód. Dowód wynika natychmiast z definicji topologii iloczynu kartezjańskiego i Stw. 4.1.2. Wykorzystamy Stw. 4.4.2 aby wykazać iż przestrzenie (Xs, Ts) są homeomorficzne z podprzestrzeniami produktu kartezjańskiego (Xs, Ts). Wybierając punkt dowolny punkt s∈S x0 ∈ Xs dla każdego t ∈ S definiujemy odwzorowanie zbiorów ιt : Xt → ιt(xt)s = xt jeśli s = t x 0 s jeśli s = t Xs : s∈S Lemat 4.4.1. Odwzorowanie ιt : (Xt, Tt) → (Xs, Ts) jest ciągłe i zadaje homeomorfzim ιt : (Xt, Tt) −→ (it(Xt), T |it(Xt)), gdzie T oznacza topologię produktową w (Xs, Ts). Dowód. Żeby sprawdzić, że odwzorowanie jest ciągłe wystarczy sprawdzić, że złożenia z rzutowaniami (Xs, Ts) ps −→ (Xs, Ts) są ciągłe. Istotnie z definicji: pt ◦ ιt = idXt natomiast dla s = t, ps ◦ ιt = x0 s jest odwzorowaniem stałym. Odwzorowaniem odwrotnym do ιt jest obcięcie rzutowania pt : ι(Xt) → Xt. Podobnie jak poprzednio zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na produkty kartezjańskie. Stwierdzenie 4.4.3. Produkt kartezjański (Xs, Ts) przestrzeni Hausdorffa spełnia I ak- s∈S sjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) oraz wszystkie zbiory Xs, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe. Dowód. =⇒ Jeśli (Xs, Ts) spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat prze- s∈S liczalności) to dowolna podprzestrzeń, a zatem przestrzenie (Xs, Ts) spełniają I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności). Jeśli zbiór S jest nieprzeliczalny oraz |Xs| > 2, to stosując Lemat 2.2.1 stwierdzamy, że z bazy w punkcie (odp. bazy) opisanej w Stw. 4.4.1 nie da się wybrać bazy przeliczalnej. ⇐= Niech (Xi, Ti) będzie przeliczalną rodziną przestrzeni spełniajacych II (odp. I) aksjomat przeliczalności. Wybierając bazy przeliczalne Bi ⊂ Ti w przestrzeniach, wykonując konstrukcję opisaną w Stw. 4.4.1 otrzymujemy przeliczalną bazę produktu kartezjańskiego (odp. bazę w punkcie). s∈S
4.4. PRODUKT KARTEZJAŃSKI 23 Stwierdzenie 4.4.4. Produkt kartezjański (Xs, Ts) przestrzeni Hausdorffa jest prze- s∈S strzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest ośrodkowa oraz co najwyżej 2 ℵ0 spośród przestrzeni (Xs, Ts) ma więcej niż jeden punkt. Dowód. =⇒ Jeśli (Xs, Ts) jest ośrodkowa to dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest s∈S ośrodkowa jako obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej (p. Stw. 4.3.2). Niech teraz T := {t ∈ S | |Xt| 2} i dla każdej przestrzeni Xt niech Ut, Vt ∈ Tt będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że |T | 2ℵ0 . Niech G ⊂ Xs będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym; ∀t∈T Gt := G ∩ 〈Ut〉. Wykażemy, s∈S iż Gt = Gr jesli r = t. Istotnie, dla dowolnych r, t ∈ T wybierzmy element d(r, t) ∈ G ∩ 〈Ur, Vt〉 = D ∩ 〈Ur〉 ∩ 〈Vt〉. Z definicji wynika, że d(r, t) ∈ Gr , ale d(r, t) /∈ Gt . Wynika stąd, że przyporzadkowanie T ∋ t Gt ∈ P(G) jest injekcją, a więc |T | |P(G)| 2ℵ0 . ⇐= Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi {(Xr, Tr)}r∈R i niech ∀r∈R ιr : (N, Tδ) → (Xr, Tr) będzie przekształceniem przeliczalnej przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w Xr. Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań ιr : r∈R N → r∈R Xr jest podzbio- r∈R rem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni (N, Tδ). Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania φ: R → N. Wybierając dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych [p·, q·] := {[p1, q1], .., [pk, qk]} i ciąg liczb naturalnych n· := {n1, ..., nk} definiujemy funkcję: ni jeśli r ∈ [pi, qi] φ ([p·,q·],n·)(r) = 0 jeśli r /∈ [pi, qi] Zbiór funkcji postaci φ ([p·,q·],n·) jest przeliczalny oraz jest gęsty w (N, Tδ). Wystarczy wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw. 4.4.1 są postaci U(r1, .., rk; n1, ..., nk) := {ψ : R → N | ψ(ri) = ni} gdzie ri ∈ R są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz ni ∈ N. Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych [pi, qi] ∋ ri otrzymujemy funkcję φ ([p·,q·],n·) ∈ U(r1, .., rk; n1, ..., nk). Stwierdzenie 4.4.5. Produkt kartezjański (Xs, Ts) jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) ma wlasność Hausdorffa. s∈S Dowód. =⇒ Jeśli dwa punkty x = {xs}s∈S, y = {ys}s∈S są różne to istnieje t ∈ S takie, że xt = yt. Wybierzmy w przestrzeni Xt otoczenia rozłączne Uxt ∋ xt oraz Uyt ∋ yt. Zbiory 〈Uxt〉 ∋ x oraz 〈Uyt〉 ∋ y są rozłącznymi otoczeniami x, y (oznaczenia p. 4.4.1). ⇐= Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest przestrzenią Hausdorffa. Twierdzenie 4.4.1. Produkt kartezjański niepustych przestrzeni (Xs, Ts) jest przestrze- nią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest metryzowalna i wszystkie one, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe. s∈S r∈R r∈R
Page 1: TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zinte
Page 4 and 5: 4 SPIS TREŚCI 6 Zwartość 39 6.1
Page 6 and 7: ii WSTĘP
Page 8 and 9: 2 ROZDZIAŁ 1. CIĄGŁOŚĆ I TOPOL
Page 16 and 17: 10 ROZDZIAŁ 2. GENEROWANIE TOPOLOG
Page 18 and 19: 12 ROZDZIAŁ 2. GENEROWANIE TOPOLOG
Page 20 and 21: 14 ROZDZIAŁ 3. WNĘTRZE I DOMKNIĘ
Page 22 and 23: 16 ROZDZIAŁ 3. WNĘTRZE I DOMKNIĘ
Page 24 and 25: 18 ROZDZIAŁ 4. KONSTRUKCJE PRZESTR
Page 34 and 35: 28 ROZDZIAŁ 5. SPÓJNOŚĆ I ŁUKO
Page 46 and 47: 40 ROZDZIAŁ 6. ZWARTOŚĆ 6.2 Zwar
Page 48 and 49: 42 ROZDZIAŁ 6. ZWARTOŚĆ Przestrz
Page 50 and 51: 44 ROZDZIAŁ 6. ZWARTOŚĆ
Page 52 and 53: 46 ROZDZIAŁ 7. ZUPEŁNOŚĆ Dowód
Page 58 and 59: 52 ROZDZIAŁ 7. ZUPEŁNOŚĆ
Page 60 and 61: 54 ROZDZIAŁ 8. PRZESTRZENIE ODWZOR
Page 70 and 71: 64 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA Składani
Page 72 and 73: 66 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA Stwierdze
Page 74 and 75: 68 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA Zamiast o
Page 76 and 77: 70 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA 4. Przeci
Page 78 and 79:
72 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA Dowód pu
Page 80 and 81:
74 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA Dowód. A
Page 82 and 83:
76 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA Niech ter
Page 84 and 85:
78 ROZDZIAŁ 10. POWIERZCHNIE Dowó
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90:
show all

TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?