TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

24 ROZDZIAŁ 4. KONSTRUKCJE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
Dowód. =⇒ Jeśli (Xs, Ts) jest przestrzenią metryzowalna, to dowolna jej podprzestrzeń,
a zatem każda przestrzeń (Xs, Ts) jest metryzowalna.
Jeśli nieprzeliczalnie wiele przestrzeni występujących w rodzinie {(Xs, Ts)}s∈S ma więcej
niż jeden punkt, to na mocy Stw. 4.4.3
(Xs, Ts) nie ma bazy przeliczalnej w żadnym
s∈S
punkcie, a więc nie jest metryzowalna, bowiem dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia
I aksjomat przeliczalności (p. Przykład 2.2.1).
⇐= Niech {(Xi, di)} ∞ i=1 będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. W zbiorze
∞
Xi definiujemy metrykę:
i=1
d ′ (x, y) :=
∞
i=1
1
2 i d′ (xi, yi)
gdzie d ′ i (xi, yi) := min(di(xi, yi), 1). Zauważmy, że ”obcięcie” metryk di jest konieczne, aby
zapewnić zbieżność szeregu. W przypadku skończonego produktu (X1, d1) × · · · × (Xk, dk),
można metrykę zdefiniować prościej:
k
d(x, y) := d(xi, yi)
i=1
Trzeba wykazać, że topologia zdefiniowana w ∞
Xi przez metrykę d ′ jest identyczna z
topologią produktową. Patrz BCPP Tw. 1.5.2.
4.5 Suma prosta
Zdefiniujemy konstrukcję sumy prostej rodziny zbiorów , dwoistą w pewnym sensie dokonstrukcji
iloczynu kartezjańskiego .
Definicja 4.5.1. Sumą prostą (zwaną też koproduktem lub sumą rozłączną) rodziny zbiorów
{Xs}s∈S nazywamy zbiór zbiór
Xs :=
Xs × {s} wraz z rodziną przekształceń
(włożeń): j := {Xt
jt
−→
s∈S
s∈S
i=1
s∈S
Xs}t∈S, jt(xt) := (xt, t).
Zauważmy, że dla s = t, (Xs × {s}) ∩ (Xt × {t}) = ∅.
Definicja 4.5.2. Sumą prostą (koproduktem) rodziny przestrzeni topologicznych {(Xs, Ts)}s∈S
nazywamy przestrzeń
(Xs, Ts) := (
Xs, T∗(j))
s∈S
gdzie T∗(j jest topologią wprowadzoną przez rodzinę odwzorowań j, wraz z (ciągłymi)
odwzorowaniami jt : (Xt, Tt) jt
−→
(Xs, T∗(j)).
s∈S
s∈S
Utożsamiając za pomocą js zbiór Xs z Xs × {s} możemy powiedziec, że podzbiór
U ⊂
Xs jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przecięcia U ∩ Xs ∈ Ts, czyli
s∈S
są otwarte w (Xs, Ts). Zauważmy, że włożenia jt : (Xt, Tt) →
(Xs, Ts) są zanurzeniami
homeomorficznymi.
s∈S