TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

5.1. SPÓJNOŚĆ 29
Dowód. Jesli dla punktów a i b spełniona jest teza twierdzenia, to będziemy mówili w
skrócie, że dają się połączyć łańcuchem w pokryciu U. Ustalmy punkt a ∈ X i rozpatrzmy
zbiór
C(a) := {x ∈ X | ∃ łańcuch w pokryciu U łączący a z x}.
Zauważmy, że ten zbiór jest otwarty: jeśli x ∈ C(a) i x ∈ Ut, to Ut ⊂ C(a). Jest takze domknięty,
bo jego dopełnienie jest zbiorem otwartym:
jeśli x /∈ C(a) oraz x ∈ Ut to Ut ⊂ X \ C(a). Ponieważ a ∈ C(a) więc ze spójności
przestrzeni (X, T ) wnioskujemy, ze C(a) = X.
Wniosek 5.1.2. Jeśli (X; d) jest przestrzenią metryczną spójną, to dla dowolnych a, b ∈
X i dla każdego ɛ > 0 istnieją punkty x1, . . . , xn ∈ X takie, że x1 = a, xn = b oraz
d(xi; xi+1) < ɛ dla i = 1, . . . , n − 1.
Dowód. Wystarczy zastosować Stw. 5.1.4 do pokrycia przestrzeni X kulami o promieniu
ɛ/2 i z kul wystepujących w łańcuchu wybrać po jednym punkcie.
Spójne podzbiory prostej euklidesowej
Definicja 5.1.2. Podzbiór A ⊂ R nazywa się przedziałem jeśli stąd, że a c b i a, b ∈ A
wynika c ∈ A, czyli dowolna liczba leżąca między dwoma liczbami należącymi do A też
należy do A.
Twierdzenie 5.1.1 (Klasyfikacja spójnych podzbiorów prostej).
1) Dowolny przedział na prostej euklidesowej jest homeomorficzny z jednym ze standardowych
przedziałów: zbiorem jednopunktowym {0} lub odcinkiem [0, 1], [0, 1), (0, 1),
przy czym żadne dwa z nich nie są homeomorficzne.
2) Podzbiór prostej euklidesowej (A, Te|A) ⊂ (R, Te) jest spójny wtedy i tylko wtedy,
gdy jest przedziałem.
Dowód. Dowolny niepusty przedział jest zbiorem jednopunktowym lub zbiorem postaci
(a, b), [a, b), (a, b], [a, b] gdzie a < b, a otwarty koniec odcinka może być ±∞ i ławto
znaleźć wśród funkcji znanych z Analizy Matematycznej I homeomorfizmy z odpowiednimi
przedziałami standardowymi. Dowód, że żadne dwa rózne przedziały standardowe nie są
homeomorficzne wykażemy po udowodnieniu punktu 2).
Wykażemy, że przedziały standardowe są spójne. Ponieważ każdy przedział jest suma
wstępujacej rodziny odcinków domkniętych, wystarczy wykazać spójność odcinka [0, 1].
Niech f : [0, 1] → {0, 1} jest funkcją ciągłą i załóżmy, że f(0) = 0. Jeśli funkcja nie jest stała,
zdefiniujmy
t1 := inf{t ∈ [0, 1] | f(t) = 1} > 0 . W punkcie t1 funkcja nie byłaby ciągła, bowiem
f(t1) = 1, natomiast f(t) = 0 dla t < t1.
Jeśli podzbiór A ⊂ R nie jest przedziałem, to istnieje liczba r /∈ A taka, że {a ∈ A | a <
r} ∪ {a ∈ A | a > r} = A jest rozkładem zbioru A na sumę dwóch niepustych, rozłącznych
podzbiorów otwartych.
Pokażemy teraz, że odcinki [0, 1], [0, 1), (0, 1), nie są parami homeomorficzne. Załóżmy,
że istniałby homeomorfizm h: [0, 1) → (0, 1). Wtedy po usunieciu początku odcinka [0, 1)