TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...
TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...
TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5.2. ŁUKOWA SPÓJNOŚĆ 35<br />
Skła<strong>do</strong>we łukowo spójne<br />
Analogicznie <strong>do</strong> pojęcia skła<strong>do</strong>wej spójnej przestrzeni topologicznej definiujemy skła<strong>do</strong>we<br />
łukowo spójne.<br />
Definicja 5.2.2. Skła<strong>do</strong>wą łukowo spójną przestrzeni (X, T ) nazywamy maksymalny (ze<br />
względu na inkluzję) podzbiór łukowo spójny w X.<br />
Zauważmy, że skła<strong>do</strong>we łukowo spójne są <strong>do</strong>kładnie klasami równoważności relacji ”istnienia<br />
drogi łączącej punkty”, zdefiniowanej w Stw. 5.2.2. Wynika stąd natychmiast:<br />
Stwierdzenie 5.2.4. Jeśli C1, C2 ⊂ X są skła<strong>do</strong>wymi łukowo spójnymi przestrzni (X, TX),<br />
to C1 = C2 lub C1 ∩ C2 = ∅ a zbiór X = C jest sumą skła<strong>do</strong>wych łukowych.<br />
Stwierdzenie 5.2.5. (X, TX) f −→ (Y, TY ), C ⊂ X – skła<strong>do</strong>wa łukowo spójna, to f(C) jest<br />
zawarty w pewnej skła<strong>do</strong>wej łukowo spójnej (Y, TY ).<br />
Dowód. Teza wynika natychmiast z Stw. 5.2.3 pkt.1.<br />
Zbiór skła<strong>do</strong>wych łukowo spójnych<br />
Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Zbiór jej skła<strong>do</strong>wych łukowych, a więc klas<br />
abstrakcji relacji opisanej w Stw. 5.2.2, oznaczamy π0(X).<br />
Uwaga 5.2.1. W zbiorze π0(X) można wprowadzić topologię ilorazową z przestrzeni (X, T ),<br />
ale w zastosowaniach <strong>do</strong> rozstrzygania pytania, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne<br />
rozpatruje się jedynie zbiór π0(X), ignorując topologię.<br />
Bardzo ważny aspekt przypisania przestrzeni X zbioru π0(X) polega na tym, że przekształceniom<br />
ciągłym między przestrzeniami mozna w ”naturalny” sposób przypisać odwzorowania<br />
zbiorów. Dokładniej:<br />
Stwierdzenie 5.2.6. Dowolne odwzorowanie ciągłe (X, TX) f −→ (Y, TY ) definiuje odwzorowanie<br />
zbiorów:<br />
f# : π0(X) → π0(Y ), f#(C) := skła<strong>do</strong>wa łukowa zawierająca f(C)<br />
przy czym (IdX)# = Id oraz dla dwóch odwzorowań (X, TX) f −→ (Y, TY ) g −→ (Z.TZ) zachodzi<br />
równość (g ◦ f)# = g# ◦ f#. <br />
Wniosek 5.2.1. Jeśli (X, TX) f −→ (Y, TY ) jest homeomorfizmem, to π0(X) f#<br />
−→ π0(Y ) jest<br />
bijekcją .<br />
Wniosek 5.2.2. Jeśli (X, TX) h −→ (Y, TY ) jest homeomorfizmem, to dla <strong>do</strong>wolnego podzbioru<br />
A ⊂ X, obcięcie h: X \A → Y \h(A) też jest homeomorfizmem, a więc definiuje bijekcję<br />
zbiorów π0(X \ A) h#<br />
−−→ π0(Y \ h(A)).
Change language