Geometri - Matematik

h 2 + k 2 = a 2 h og k er beregnet ovenover, se ***.
Udregningerne indsættes:
(b ⋅ sin(A) ) 2 + (c-b ⋅ cos(A) ) 2 = a 2 Ligningen reduceres: 41
⇔ b 2 ⋅ sin 2 (A)+ c 2 + b 2 ⋅ cos 2 (A)– 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2
⇔ b 2 ⋅ cos 2 (A)+ b 2 * ⋅ sin 2 (A)+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2
⇔ b 2 ⋅ [cos 2 (A)+ sin 2 (A)]+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2
⇔ b 2 ⋅ [1]+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2
eller skrevet lidt anderledes
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc*cos(A)
jævnfør “Pythagoras og standardtrekanten”
De to andre varianter af cosinusrelationerne kan vises på tilsvarende vis
ved at dele trekanten med en af de andre højder.
Eksempel 3-8 Beregning med cosinusrelationer
I ΔABC er a = 5 , b =6 og c = 4. Beregn ∠A.
Svar:
Vi benytter cosinusrelationerne herover og indsætter kendte størrelser:
5 2 = 6 2 + 4 2 – 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ cos(A) ⇔
25 – 36 – 16 = - 48 cos(A) ⇔
17 = 48 cos(A) ⇔
cos(A) = 17/48 ⇔
∠A = cos -1 (17/48) ⇔
∠ A = 69,25°
= 69,3°
41 Bemærk, at (sin(A)) 2 skrives som sin 2 (A)
68 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt
QED