Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

4. Potenzreihen 22
21 4. Potenzreihen
Zu zeigen: (fν ◦ ϕ)ϕ ′ → (f ◦ ϕ)ϕ ′ , dann kann Lemma 4.6. angewendet werden. Nun gilt aber:
∞
(aν(z − z0) ν ) (s) . Zu zeigen: R = Rs. Wir wissen schon:
b) Sei Rs der Konvergenzradius von
· ϕ ′ I
≤M
(fν ◦ ϕ)ϕ ′ − (f ◦ ϕ)ϕ ′ I ≤ fν ◦ ϕ − f ◦ ϕI
→0
∞
ν=0
|aν|ν|z − z0| ν−1 < ∞. Es
R ≤ Rs. Wir betrachten nun den Fall s = 1. Sei z ∈ UR1 (z0), d.h.
→ 0.
ν=1
∞
|aν| · |z − z0| ν < ∞. Also: z ∈ UR(z0) und R1 ≤ R. Analog für beliebiges s.
folgt:
4.8. Folgerung
∞
Sei fν eine gleichmäßig und absolut konvergente Reihe stetiger Funktionen auf W . Dann gilt:
ν=0
ν=0
∞
∞
fν dz.
fν dz =
ν=0
W
W
ν=0
∞
aν(z − z0) ν den Konvergenzradius W . Ist W ein Weg in UR(z0). Dann folgt:
Insbesondere hat P :=
ν=0
∞
∞
4.5. Beispiele
a) i) ez ∞ z
=
ν=0
ν
∈ O(C) mit R = ∞.
ν!
∞
n z2ν
ii) cos z = (−1)
(2ν)!
ν=0
.
∞
n z2ν+1
iii) sin z = (−1)
(2ν + 1)!
ν=0
.
∞
b) ν!z ν hat Konvergenzradius R = 0.
aν(z − z0) ν dz.
aν(z − z0) ν dz =
W
ν=0
ν=0
ν=0
W
c) Potenzreihen mit R = 1:
∞
i) z ν divergiert für alle z mit |z| = 1.
ν=0
zν (z = −1) divergiert für alle z mit |z| = 1.
ν
zν konvergiert für alle z mit |z| = 1.
ν2 ∞
ii)
ν=0
∞
iii)
ν=0
4.6. Lemma
Sei I = [a, b] und fν : I → C stetig. Weiterhin konvergiere (fν) → f gleichmäßig mit f : I → C. Dann
b
b
gilt:
f(t) dt.
fν(t) dt =
lim
a
a
ν→∞
Beweis: Sei fν = gν + ihν und f = g + ih. Es konvergieren (gν) → g und (fν) → f gleichmäßig.
Dann gilt:
b
b
b
hν(t) dt
gν(t) dt + i
fν(t) dt =
a
b
a
b
a
h(t) dt
g(t) dt + i
→
a
a
b
f(t) dt.
=
a
4.7. Satz
Sei B ⊂ C offen und W ein Weg in B. Es sei fν : |W | → C stetig. Weiterhin konvergiere (fν) → f
gleichmäßig mit f : |W | → C. Dann gilt:
f dz.
fν dz =
lim
ν→∞
W
W
Beweis: Sei I = [a, b]. W habe die Parametrisierung ϕ: I → C. Dann gilt:
b
fν dz = (fν ◦ ϕ)(t)ϕ ′ (t) dt.
a
W