Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

10. Reell-analytische Funktionen 44
43 10. Reell-analytische Funktionen
Vorbemerkungen
a) Sei f : C → C, |f(z)| ≤ M|z| n und |z| ≥ R. Dann ist f ein Polynom vom Grade ≤ n.
b) Sei f ein nicht-konstantes Polynom. Dann gilt: lim |f(z)| = ∞.
10.5. Beispiele
a) Wir wissen, daß für alle x, y ∈ R gilt: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x. Wie schaut es nun im
Komplexen aus?
|z|→∞
c) Es gilt f(z) ∼ z n für große |z|.
10.8. Satz
Sei f : C → C eine transzendente holomorphe Funktion, d.h. f ist kein Polynom. Sei w0 ∈ C. Dann gibt
es eine Folge (wm) in C mit lim
m→∞ |wm| = ∞, so daß lim
m→∞ f(wm) = w0.
i) Sei dazu y ∈ R fest. Sei f : R → R, f(x) = sin(x + y) − sin x cos y − sin y cos x. Als holomorphe
Fortsetzung wählen wir F (z) = sin(z + y) − sin z cos y − sin y cos z. Wenn f = 0 gilt, folgt wegen
der Eindeutigkeit der holomorphen Fortsetzung: F = 0. Also gilt für alle z ∈ C und für alle
y ∈ R: sin(z + y) = sin z cos y − sin y cos z.
ii) Sei nun z ∈ C fest. Definiere g(y) := sin(z + y) − sin z cos y − sin y cos z. Wir erhalten dasselbe
Resultat.
Mit anderen Worten: Für alle r > 0 ist f(C \ Ur(0)) dicht in C, d.h. f(C \ Ur(0)) = C. 13
Beweis: Wir zeigen: Wenn es keine Folge (wm) gibt mit lim
m→∞ |wm| = ∞ und lim
m→∞ f(wm) = w0,
dann ist f ein Polynom.
Ohne Einschränkung sei f nicht konstant. Die Menge Γ := {z ∈ UR(0) | f(z) = w0} ist endlich. 14
Also gilt: f −1 (w0) hat keine Häufungspunkte in C. Numeriere nun die Elemente dieser Menge durch:
Γ = {a1, . . . , ar}, mit Vielfachheiten n1, . . . , nr. 15 Definiere nun die Funktion
f(z) − w0
g : C → C, g(z) = .
ni (z − ai)
b) Sei z ∈ C∗ mit z = reiϕ , r > 0 und ϕ ∈ [−π, π). Wenn nun z ∈ C \ (−∞, 0], dann folgt: ϕ ∈ (−π, π)
und arg |z| = ϕ. Es gilt: arg : C \ (−∞, 0] → (−π, π).
Seien z1, z2 ∈ C \ (−∞, 0], zj = rjeiϕj und ϕj ∈ (−π, π) mit j = 1, 2. Für das Produkt gilt:
z1 · z2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2) , und für das Argument: arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2) mod 2π, da ϕ1 + ϕ2
nicht notwendigerweise im Bereich (−π, π).
Sind z1, z2 so, daß ϕ1 + ϕ2 ∈ (−π, π), dann folgt: arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2). Mit Bemerkung
9.5. gilt: log z = log |z| + i arg z. Also gilt für z1, z2 ∈ C \ (−∞, 0] mit arg(z1) + arg(z2) ∈ (−π, π):
r i=1
∈ O(C).
g ∈ O(C) hat keine Nullstelle, also gilt: 1
g
log(z1 · z2) = log |z1z2| + i arg(z1 · z2)
= log |z1| + log |z2| + i arg(z1) + i arg(z2)
= log z1 + log z2.
≤ M ′ · |z| n .
g (z)
1
Beh.:
≤ M · |z|n .
Bew.: Wähle M > 0, so daß für |z| ≥ R gilt:
r
(z − aj) nj
j=1
(Da die ai konstant sind, gilt: |z − ai| ni ≤ const · |z| ni .) Definiere n := n1 + . . . + nr. Da
10.6. Satz
Sei I ⊂ R ein offenes Intervall und f : I → R unendlich oft differenzierbar. f ist genau dann reellanalytisch,
wenn gilt:
(n) f (x)
∀ x0 ∈ I ∃ C > 0 ∃ δ > 0 ∀ n ∈ N : |x − x0| < δ (x ∈ I) =⇒
δ
n!
n ≤ C.
| r i=1 (z − ai) ni |
|f(z) − w0|
(Wachstumsbedingung für die n-te Ableitung.)
Beweis:
M|z| n
ε
|f(z) − w0| ≤ ε für |z| ≥ R, folgt für |z| ≥ R:
1
g
(z)
=
≤
M ′ := M
ε
= M ′ |z| n .
keine Nullstellen. Nach dem
1
ist ein Polynom vom Grade ≤ n, also hat g
Mit 6.12. folgt nun 1
g
” ⇒“: Sei x0 ∈ I und R der Konvergenzradius der Taylorreihe um x0. Sei F die holomorphe Fortsetzung
auf Ur(x0) ⊂ C. Sei 0 < δ < R
R
2 . Wende nun die Cauchysche Ungleichung an für r = 2 .
Dann folgt:
(n) f (x)
n!
= C = const. Also folgt:
Fundamentalsatz der Algebra gilt somit: 1
g
δ n ≤ 2f∂Ur(x0) =: C.
r
(z − ai) ni .
f(z) − w0 = 1
C
” ⇐“: Wir zeigen, daß die Taylorreihe von f um x0 gegen f konvergiert. Dazu betrachten wir das
i=1
(x − x0) n
Lagrangesche Restglied (mit 0 ≤ ϑ ≤ 1):
Somit ist f ein Polynom.
C
n
|x − x0|
δn Vor.
=
f (n) (x0) + ϑ(x − x0)
n!
10.9. Folgerung
Sei f : C → C holomorph. Es gebe n ∈ N, M, R > 0, so daß mit |z| ≥ R gilt: |f(z)| ≥ M · |z| n . Dann ist
f ein Polynom vom Grade ≥ n.
→ 0 (n → ∞),
Beweis: Aus Satz 10.8. folgt mit w0 = 0, daß f ein Polynom ist. Sei nun m der Grad von f, dann
gilt: |f(z)| ≤ C|z| m . Gleichzeitig gilt jedoch auch: |f(z)| ≥ M|z| n für |z| ≥ R. Insgesamt ergibt sich:
m ≥ n.
da |x − x0| < δ.
10.7. Beispiel
Sei f : R → R, f(x) = 1
1+x2 . Was ist der Konvergenzradius der Taylor-Entwicklung um 0? Betrachte dazu
F : C\{−i, i} → C mit F (z) = 1
1+z2 . Der Konvergenzradius der Potenzreihenentwicklung von F um 0 ist
1. (Die Punkte −i und i sind ausgeschlossen, daher kann er nicht größer sein.) Da der Konvergenzradius
von f um 0 nicht größer werden kann als der von F , ist auch dieser 1.
13Dies ist völlig falsch für ein Polynom!
14Wäre sie nicht endlich, würde mit dem Identitätssatz folgen: f = const, was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre.
15Das heißt: h: z ↦→ f(z) − w0 hat in ai eine Nullstelle der Vielfachheit ni. Aus h(ai) = 0 folgt also: h(z) = (z − ai) nih(z) mit h(ai) = 0 lokal.