Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

10. Reell-analytische Funktionen 42
41 9. Stammfunktionen und Logarithmus
10. Reell-analytische Funktionen
Bemerkungen
10.1. Definition
Sei I ⊂ R ein offenes Intervall. Sei f : I → R. f heißt reell-analytisch, wenn für alle x0 ∈ I ein
∞
U = U(x0) ⊂ I existiert, so daß gilt: f(x) = aν(x − x0) ν für alle x ∈ U. 11
a) Die Funktion log : C \ (−∞, 0] → C ist injektiv. Es gilt: Im log = R × i(−π, π).
b) Die Wahl der reellen negativen Achse als Ausnahmemenge“ ist willkürlich; man könnte auch ir-
”
gendeinen (anderen) Halbstrahl in der linken Halbebene entfernen.
c) Durch Aufschneiden“ von C längs (−∞, 0] kann man den natürlichen maximalen Definitionsbereich
”
von log konstruieren, eine sogenannte Riemannsche Fläche ( Wendelfläche“).
”
ν=0
10.2. Definition
Sei I ⊂ R ein Intervall und G ⊂ C ein Gebiet, so daß gilt: I ⊂ (G ∩ R). Sei f : I → C. F ∈ O(G) heißt
eine holomorphe Fortsetzung von f, wenn F |I = f.
Bemerkung
Hat f eine holomorphe Fortsetzung, ist f reell analytisch.
9.7. Satz
∞ z
Für alle z ∈ C mit |z| < 1 gilt: log(1 + z) =
ν=1
ν
. (Potenzreihenentwicklung von log um z = 1.)
ν
∞
Beweis: Auf {|z| < 1} schreibe log(1 + z) = aνz
ν=0
ν ∞
bzw. log(1 + z) = aνz
ν=1
ν , da log 1 = 0. Nach
∞ x
Analysis I gilt für alle 0 < x < 1 (x ∈ R) die Taylorentwicklung log(1 + x) =
ν
ν =
∞
aνx ν . Da
10.3. Satz
Seien F1, F2 ∈ O(G) zwei holomorphe Fortsetzungen von f. Dann gilt: F1 = F2.
Beweis: Es gilt: F1|I = f = F2|I. Mit dem Identitätssatz folgt: F1 = F2.
ν=1
ν=1
die Taylorentwicklung eindeutig ist, folgt: aν = 1
ν .
9.8. Definition
Sei a ∈ C \ (−∞, 0] und b ∈ C. Dann sei ab := exp(b · log a).
10.4. Satz
Sei f : I → R reell-analytisch. Dann existiert ein Gebiet G ⊂ C, so daß es eine holomorphe Fortsetzung
F ∈ O(G) auf f mit I ⊂ G gibt.
Beweis:
a) Lokale Fortsetzung.
Sei x0 ∈ I. Wähle r > 0, so daß für Ur(x0) = {z ∈ C |z − z0| < r} gilt: Ur(x0) ∩ R ⊂ I. 12
9.9. Satz
Sei G ⊂ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Sei f ∈ O(G) ohne Nullstellen. Dann existiert ein
g ∈ O(G), so daß für alle z ∈ G gilt: eg(z) = f(z).
′
f
Beweis: Es gilt: f ∈ O(G). Da G einfach zusammenhängend ist, existiert eine Stammfunktion
h ∈ O(G) zu . Es gilt:
Sei r so klein, daß für x ∈ I, |x − x0| < r gilt: f(x) = ∞
′
f
f
ν=0 aν(x − x0) ν . Definiere F (z) :=
∞ ν=0 aν(z − z0) ν . Es folgt: F (z) konvergiert auf Ur(x0).
b) Globale Fortsetzung.
Nach a) gilt: Für alle x ∈ I existiert ein offenes U = U(x) ⊂ C, so daß es eine Funktion Fx ∈ O(U)
gibt, für die gilt: F |U∩I = f|U∩I, U = Uε(x)(x). Definiere G :=
x∈I U(x). Es folgt: I ⊂ G, und
G ist offen.
G ist zusammenhängend: Seien z1, z2 ∈ G. Dann existieren ein x1, x2 ∈ I, so daß z1 ∈ U(x1) und
z2 ∈ U(x2). Da G wegzusammenhängend und zusammenhängend ist, können wir F definieren.
Sei z ∈ G. Wähle x ∈ I, so daß z ∈ U(x). Definiere F (z) := Fx(z).
= f ′ (z)e −h(z) − h ′ (z)f(z)e −h(z)
f(z)e −h(z)
d
dz
= e −h(z) (f ′ (z) − h ′ (z)f(z))
= 0,
da h ′ (z) = f ′ (z)
f(z) . Also gilt: fe−h = C = 0. Also: f = eh+ C mit C = log C. Daraus folgt: g = h + C.
Zeige: F ist wohldefiniert. Sei x ′ ∈ I, so daß z ∈ U(x ′ ). V := U(x) ∩ U(x ′ ) ist dann ein
Gebiet, da Schnitt von zwei Kugeln. Mittels Satz 10.3. gilt: Aus Fx|V = Fx ′|V und z ∈ V folgt:
Fx(z) = Fx ′(z). Also ist F wohldefiniert und es gilt: F ∈ O(G).
Insgesamt ergibt sich: F |I = f.
9.10. Satz
Sei G ⊂ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet, f ∈ O(G) ohne Nullstellen und n ∈ N. Dann existiert
ein g ∈ O(G), so daß gilt: gn = f. ( n-te Wurzel“)
”
Beweis: Wähle h ∈ O(G) mit eh = f nach Satz 9.9. Definiere dann g := e h
n . Dann gilt:
Bemerkung
Sei G ⊂ C offen und I ⊂ R ein Intervall mit I ⊂ (G ∩ R). Sei F ∈ O(G) mit F (G ∩ R) ⊂ R. Dann gilt:
F |I ist reell analytisch.
∞
Beweis: Lokal gilt: F (z) = aν(z − z0) ν mit z0 ∈ G ∩ R. Da F (G ∩ R) ⊂ R, sind alle aν reell.
n
= e h = f.
e h
n
g n =
ν=0
Also ist F |I reell analytisch.
11f ist dann also durch eine konvergente Potenzreihe darstellbar.
12Wähle r so, daß für |x − x0| < r gilt: x ∈ I.