Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

2. Wegintegrale 14
13 2. Wegintegrale
2.17. Folgerung
f dz = 0.
Ist speziell in Satz 2.16. W geschlossen, so gilt:
W
2.13. Definition
Sei B ⊂ C offen und f : B → C stetig.
a) F : B → C heißt unbestimmtes Integral von f, wenn für alle Wege W in B gilt:
f dz = F (Endpunkt von W ) − F (Anfangspunkt von W ).
W
= f.
b) F heißt Stammfunktion zu f, wenn gilt: F ∈ O(B) und F ′ = ∂F
∂z
2.14. Satz
Sei f :
B → C stetig und habe das unbestimmte Integral F . Sei K ⊂ B eine geschlossene Kette. Dann
gilt: f dz = 0.
K
Beweis: Sei K = {W1, . . . , Wn}. Dann folgt (bj: Endpunkte, aj: Anfangspunkte):
n
f dz = f dz
Wj
j=0
K
n
F (bj) − F (aj)
=
j=0
= 0,
weil jedes z ∈ C genauso oft als Endpunkt wie als Anfangspunkt auftaucht.
2.15. Hilfssatz
Sei F ∈ O(B) und ϕ: I → B stetig differenzierbar. Dann gilt:
(F ◦ ϕ) ′ = (F ′ ◦ ϕ)ϕ ′ ,
∂(F ◦ϕ)
∂t = ∂F
∂z ◦ ϕ dϕ
dt .
Beweis: Es gilt mit ϕ ′ = ϕ ′ 1 + iϕ ′ 2:
d.h.
(F ◦ ϕ) ′
∂F
= ◦ ϕ ϕ
∂x ′
∂F
1 + i ◦ ϕ ϕ
∂y ′ 2
= 1
∂F
− i∂F ◦ ϕ (ϕ
2 ∂x ∂y
′ 1 + iϕ ′ 2) + 1
∂F
+ i∂F ◦ ϕ (ϕ
2 ∂x ∂y
′ 1 + iϕ ′ 2)
∂F
= ◦ ϕ ϕ
∂z ′
∂F
+ ◦ ϕ ϕ
∂z ′
∂F
= ◦ ϕ ϕ
∂z ′ .
2.16. Satz
Sei F ∈ O(B) eine Stammfunktion zu f : B → C. Dann ist F das unbestimmte Integral zu f, und es gilt:
f dz = F (zE) − F (zA).
W
Beweis: Es gilt:
b
(f ◦ ϕ)ϕ ′ (t) dt
f dz =
a
b
W
2.15.
= (F ◦ ϕ)
a
′ (t) dt
= F (ϕ(b)) − F (ϕ(a))
= F (zE) − F (zA).