Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

18. Der Satz von Montel 84
83 17. Biholomorphe Abbildungen
18. Der Satz von Montel
Bemerkung
. Es gilt: ker Φ = {±E}, denn: Sei
a b
c d
18.1. Definition
Sei M ⊂ Rn und F eine Menge von Funktionen f : M → R. F heißt
1 ↦→ ad−bc
Sei Φ: Aut(H) → SL(2, R) und f(z) = az+b
cz+d
1 0
0 1
a b
c d
Φ(f) = id, so folgt:
gleichgradig stetig :⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x1, x2 ∈ M ∀ f ∈ F :
.
=
1
ad − bc
|x1 − x2| < δ =⇒ |f(x1) − f(x2)| < ε,
beschränkt :⇐⇒ ∃ C > 0 ∀ f ∈ F ∀ x ∈ M : |f(x)| ≤ C.
Daraus folgt: a = d = ±1 und b = c = 0.
Bemerkung
2
Bemerkungen
a) F beschränkt bedeutet also: fM ≤ C.
b) Sei F gleichgradig stetig und sei f ∈ F. Dann gilt: f ist gleichmäßig stetig.
ist biholomorph. 49
z+1
z−1
Die Funktion f : D → C \ (−∞, 0], f(z) :=
Beweis: (Nur als Beweisskizze.) Zeige zunächst, daß die Abbildung h: H → C \ (−∞, 0], h(z) = −z2 biholomorph ist. Anschließend komponiere diese Abbildung mit der biholomorphen Abbildung aus
Satz 17.13. von D nach H.
18.2. Satz von Arzelà-Ascoli
Sei M ⊂ Rn ein kompakter Quader. Sei (fν) eine Folge von Funktionen fν : M → R, so daß F = {fν | ν ∈
N} beschränkt und gleichgradig stetig ist. Dann gibt es eine gleichmäßig konvergente Teilfolge von (fν).
Beweis: Idee: Wähle eine Teilfolge so aus, daß Konvergenz auf einer abzählbaren dichten Teilmengen
von M gilt. Die gleichgradige Stetigkeit erzwingt die Konvergenz überall.
Sei also M := M ∩ Qn eine abzählbare dichte Teilmenge. 50 M ist abzählbar, also etwa: M =
{x1, x2, . . .}. Die Folge (fν(x1))ν ist beschränkt, also gibt es eine konvergente Teilfolge (f1ν ) von (fν),
so daß für ν → ∞ gilt: f1ν (x1) → a1. Die Folge (f1ν (x2))ν ist ebenso beschränkt, also gibt es wieder
eine konvergente Teilfolge (f2ν ) von (f1ν ), so daß für ν → ∞ gilt: f2ν (x2) → a2.
Bemerkung
Wir stellen uns die Frage: Wann sind zwei Gebiete G1, G2 ⊂ C biholomorph äquivalent? Wir wissen
bereits, daß H, D und C \ (−∞, 0] biholomorph äquivalent sind. Die genannten Gebiete sind alle einfach
zusammenhängend. Ganz C ist jedoch nicht biholomorph äquivalent zu D nach dem Satz von Liouville.
Der Riemannsche Abbildungssatz wird zeigen: Sei G C ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so ist
G biholomorph äquivalent zu D.
Induktiv erhalten wir Teilfolgen (fλν )ν, so daß (fλν ) eine Teilfolge von (fλ ′ ν ) ist mit 1 ≤ λ′ ≤ λ − 1,
(xλ ′) → aλ ′.
so daß für ν → ∞ gilt: fλν (xλ) → aλ. Insbesondere gilt für 1 ≤ λ ′ ≤ λ und ν → ∞: fλν
Bilde nun die Diagonalfolge gλ := fλλ. Ist λ fest, so ist (gν)ν≥λ eine Teilfolge von (fλν )ν, also gilt:
(gν(xν))ν → aν. (ν → ∞) (1)
Also konvergiert (gν) punktweise auf M.
Beh.: (gν) konvergiert gleichmäßig.
Bew.: Sei ε > 0 gegeben. Zu zeigen: Es gibt ein ν0, so daß für alle ν, µ ≥ ν0 und für alle x ∈ M gilt:
|gν(x) − gµ(x)| < ε.
Da (gν) gleichgradig stetig ist, gibt es ein δ > 0, so daß für alle ν und für alle x, x ∗ ∈ M gilt:
. (2)
|x − x ∗ | < δ =⇒ |gν(x) − gν(x ∗ ) < ε
3
Für x ∈ M ist Uδ(x) ∩ M dicht in Uδ(x) ∩ M. Also gibt es ein xµ ∈ Uδ ∩ M, so daß gilt:
x ∈ Uδ(xµ) =: V (x). (V (x))x∈M ist eine offene Überdeckung von M. Da M kompakt gibt,
gibt es eine eindeutige Teilüberdeckung V (x (1) ), . . . , V (x (s) ). Jedes V (x (j) ) ist von der Form
V (x (j) ) = Uδ(xλj ).
Wegen (1) gilt für 1 ≤ j ≤ s: Es gibt ein ν0 := max1≤j≤s ν0(j), so daß für alle ν, µ ≥ ν0 und für
alle 1 ≤ j ≤ s gilt:
ε
|gν(xλj − gµ(xλj )| < . (3)
3
Sei jetzt x ∈ M beliebig. Sei ν, µ ≥ ν0. Weil M ⊂ Uδ(xλj ), gibt es ein j, so daß x ∈ Uδ(xλj ).
Insgesamt gilt nun:
|gν(x) − gµ(x)| ≤ |gν(x) − gν(xλj )| + |gν(xλj ) − gµ(xλj )| + |gµ(xλj ) − gµ(x)|
ε
+
3
ε
+
3
ε
3
(2), (3)
<
= ε.
Also konvergiert (gν) gleichmäßig.
50 Wenn M kein Quader ist, so nehme irgendeine dichte Teilmenge.
49 C \ (−∞, 0] ist der Definitionsbereich des Logarithmus.