Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

1. Komplexe Differenzierbarkeit 6
5 1. Komplexe Differenzierbarkeit
1.3. Folgerung
1. Komplexe Differenzierbarkeit
∂y (z0)
.
∂y (z0)
.
Es gilt:
∂f
∂x (z0) − i ∂f
∂f
∂x (z0) + i ∂f
a) ∂f
∂z (z0) = 1
2
b) ∂f
∂z (z0) = 1
2
1.1. Notationen
Sei U ⊂ C offen und f : U → C, f = u + iv mit u, v : U → R. Dabei ist u = Re(f) und v = Im(f). Dabei
wird R2 mit C identifiziert: (x, y) =“ x + iy.
”
f ist genau dann in z0 ∈ U reell differenzierbar, wenn u und v in z0 reell differenzierbar sind. Es gilt:
c) ∂f
∂z (z0) = ∂f
∂z (z0).
∂v + i ∂x .
∂f
= ∂z (z0).
d) ∂f
∂z
∂v + i ∂y .
∂u = ∂x
∂u = ∂y
a) ∂f
∂x
b) ∂f
∂y
Beweis: Für a) und b) gilt:
∂f
= ∂x .
c) ∂f
∂x
◦ A
∂f
(z0),
∂y (z0)
=
∂f
(z0),
∂z (z0)
∂f
∂z
∂f
= ∂y .
d) ∂f
∂y
1
2
1 − 2i
1
2
∂f
∂x
∂f
∂x
=
Sei U ⊂ R 2 , f : U → R 2 und z0 = x0 + iy0. Es gelten folgende Äquivalenzen:
1
2i
∂f
(z0),
∂y (z0)
a) f ist in z0 reell differenzierbar.
∂f
∂y (z0). c) und d) folgen aus
∂f
∂x (z0) − 1
2i
∂f
∂y (z0) und ∂f
∂z (z0) = 1
2
∂f
∂x (z0) + 1
2i
∂z (z0) = 1
2
Also gilt: ∂f
Definition 1.1.
→ 0 (z → z0).
|z−z0|
b) f(z) = f(z0) + Df(z1)(z − z0) + ϕ(z) mit ϕ(z)
c) Es existieren in z0 stetige ∆1, ∆2, so daß f(z) = f(z0) + (x − x0)∆1(z) + (y − y0)∆2(z).
Es gilt: ∆1(z0) = ∂f
∂x (z0) und ∆2(z0) = ∂f
∂y (z0).
. Ansatz:
∂f
und ∂y
∂z = zez und ∂f
∂z = ez . Berechne nun ∂f
∂x
1.4. Beispiel
Sei f : C → C, f(z) = zez . Dann folgt: ∂f
f = u + iv.
1.2. Satz und Definition
Sei U ⊂ C offen, f : U → C und z0 ∈ U.
f(z) = f(x + iy)
= (x − iy)e x e iy
= (x − iy)e x (cos y + i sin y)
= xe x cos y + ixe x sin y − iye x cos y + ye x sin y.
a) f ist genau dann in z0 reell differenzierbar, wenn in z0 stetige ∆, ∆ ′ : U → C existieren, so daß für
alle z ∈ U gilt:
f(z) = f(z0) + (z − z0)∆(z) + (z − z0)∆ ′ (z).
b) Sei f in z0 reell differenzierbar. Dann sind ∆(z0) und ∆ ′ (z0) eindeutig bestimmt. Wir setzen:
Somit gilt:
∂f
∂z (z0) := ∆(z0) und ∂f
∂z (z0) := ∆ ′ (z0).
u(x + iy) = xe x cos y + ye x sin y,
v(x + iy) = xe x sin y − ye x cos y.
Beweis: Es gilt:
x − x0 = Re(z − z0)
Es folgt:
∂f
∂x = ex cos y + xe x cos y + ye x sin y + i(e x sin y + xe x sin y − ye x cos y),
∂f
∂y = −xex sin y + e x sin y + ye x cos y + i(xe x cos y + ye x sin y − e x cos y).
= 1
2 ((z − z0) + (z − z0)).
y − y0 = Im(z − z0)
= 1
2i ((z − z0) − (z − z0)).
.
z − z0
z − z0
x − x0
y − y0
Insgesamt ergibt sich:
= A
∈ GL(2, C). Dann gilt:
1
2
1 − 2i
1
2
1
2i
Setze nun A :=
− i∂f
∂y
∂f
∂x
1
=
2
∂f
∂z
= (x − iy)e x e iy
= ze z .
1.5. Definition
f : U → C heißt in z0 komplex differenzierbar, wenn ein in z0 stetiges ∆: U → C existiert, so daß für alle
z ∈ U gilt:
f(z) = f(z0) + (z − z0)∆(z).
a) ⇒“: f ist in z0 reell differenzierbar, also ist f(z) = f(z0) + (x − x0)∆1(z) + (y − y0)∆2(z).
”
Definiere (∆, ∆ ′ ) := (∆1, ∆2) ◦ A. Dann gilt:
(z − z0)∆(z) + (z − z0)∆ ′ (z) = (∆(z), ∆ ′
z − z0
(z))
z − z0
z − z0
= (∆1(z), ∆2(z)) ◦ A
z − z0
= (x − x0)∆1(z) + (y − y0)∆2(z).
” ⇐“: Setze (∆1, ∆2) := (∆, ∆ ′ ) ◦ A −1 und führe obige Rechnung rückwärts durch.
b) ∆(z0) und ∆ ′ (z0) sind eindeutig bestimmt, weil ∆1(z0) und ∆2(z0) eindeutig bestimmt sind.
∆(z0) =: f ′ (z0) heißt komplexe Ableitung von f in z0.