Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

6. Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen 28
27 6. Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen
6.5. Satz
Sei U ⊂ C offen und f : U → C. Dann sind äquivalent:
Beweis: Mit Satz 6.1. gilt:
f(ξ)
ξ − z dξ
f(z) =
a) f ist komplex differenzierbar, also holomorph.
b) f ist unendlich oft komplex differenzierbar.
c) f ist um jeden Punkt z0 ∈ U lokal in eine Potenzreihe entwickelbar.
∂Ur(z0)
f(ξ)
(ξ − z0) − (z − z0) dξ
1
2πi
1
2πi
1
2πi
=
∂Ur(z0)
1
1 − z−z0
f(ξ)
ξ − z0
d) f hat lokal eine Stammfunktion.
dξ
·
=
ξ−z0
∂Ur(z0)
f dz = 0.
e) f ist stetig und für jedes achsenparalleles Rechteck Q ⊂ U gilt:
(z − z0) ν
dξ
(ξ − z0) ν
∞
f(ξ)
ξ − z0
∂Q
·
1
2πi
(∗)
=
Beweis:
a) ⇒ d): Satz 3.4.
a) ⇒ b): Satz 6.2. mit der Tatsache, daß Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind.
a) ⇔ c): Satz 6.2.
d) ⇒ a): Lokal existiert ein F ∈ O(U) mit F ′ = f|U . Also gilt: f|U ∈ O(U), und somit f ∈ O(U).
ν=0
∂Ur(z0)
dξ
(ξ − z0) ν
f(ξ)
ξ − z0
∞
· (z − z0) ν
1
2πi
∞
(∗∗)
=
∂Ur(z0)
ν=0
f(ξ)
ν
dξ (z − z0)
(ξ − z0) ν+1
1
2πi
=
∂Ur(z0)
ν=0
b) ⇒ a): Trivial.
∞
f dz = 0 nach Goursat.
a) ⇒ e): Klar, da f stetig und
aν(z − z0) ν .
=
∂Q
ν=0
e) ⇒ a): f besitzt lokal eine Stammfunktion nach 3.3., also: f ∈ O(U).
6.6. Satz (Riemannscher Hebbarkeitssatz)
Sei B ⊂ C offen, z0 ∈ B und f ∈ O(B \{z0}). f sei nahe z0 beschränkt, d.h. es existiert ein U = U(z0) ⊂
B, so daß gilt: |f(z)| ≤ M für alle z ∈ U. Dann gilt: F ∈ O(B), so daß F | B\{z0} = f.
(∗) gilt, weil z−z0
= ξ−z0
|z−z0|
r < 1 und z ∈ Ur(z0).
(∗∗) gilt wegen der gleichmäßigen Konvergenz.
∞
Zur Eindeutigkeit: Sei f(z) = aν(z − z0) ν für alle z ∈ UR(z0). Dann folgt:
ν=0
Insbesondere gilt: Sei f : B \ {z0} → C holomorph und f : B → C stetig, dann folgt: f ∈ O(B).
aνν(ν − 1) · . . . · (ν − s + 1)(z − z0) ν−s .
f (s) (z) =
(z − z0)f(z) z = z0
Beweis: Sei g : B → C mit
ν≥s
.
0 z = z0
g(z) :=
. as ist somit eindeutig bestimmt.
Bei z = z0 folgt: f (s) (z0) = as · s!. Also: as = f (s) (z0)
s!
Dann gilt: g ∈ O(B \ {z0}), weil f nahe z0 beschränkt ist. Also ist g in z0 stetig. g hat nach 3.2. eine
Stammfunktion, und mit 6.5. gilt: g ∈ O(B). Also gilt:
6.3. Folgerung
f(ξ)
dξ.
(ξ − z) s+1
g(z) = g(z0) + (z − z0)∆(z),
∂Ur(z0)
In Satz 6.1. gilt: f (s) (z) = s!
2πi
wobei ∆ in z0 stetig ist. Es gilt für z = z0:
g(z) = (z − z0)f(z)
= (z − z0)∆(z).
6.4. Folgerung
Sei U ⊂ C offen, z0 ∈ U und f ∈ O(U). Sei R maximal mit UR(z0) ⊂ U. Dann gibt es eine konvergente
∞
Potenzreihe aν(z − z0) ν ∞
auf UR(z0), so daß für alle z ∈ UR(z0) gilt: f(z) = aν(z − z0) ν .
ν=0
ν=0
Also gilt: ∆ = f auf B \ {z0}. Also ist f in z0 stetig. f hat nach 3.2. lokal eine Stammfunktion, und
mit 6.5. folgt: f ∈ O(B).
Bemerkungen
∞
6.7. Definition
f ∈ O(C) heißt ganze Funktion.
aν(z − z0) ν kann größer als R sein.
a) Der Konvergenzradius von
ν=0
b) Man sagt: f ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar.
Bemerkungen
∞
aνz ν für alle z ∈ C, da C keinen Rand hat.
a) Sei f ∈ O(C). Dann gilt: f(z) =
ν=0
b) Ganze Funktionen sind zum Beispiel exp, sin, cos sowie alle Polynome.