Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

5. Die Umlaufszahl 24
23 5. Die Umlaufszahl
5.5. Folgerung
n(z, K) ist lokal konstant in z. 5
5. Die Umlaufszahl
Sei K = {W1, . . . , Wr} eine geschlossene Kette, wobei die Wi (stückweise) stetig differenzierbare Kurven
sind.
5.6. Folgerung
Seien z1, z2 ∈ C\|K|. Es gebe einen Weg W in C\|K| mit z1, z2 ∈ | W |. Dann folgt: n(z1, K) = n(z2, K).
Beweis: Sei I = [a, b]. Sei W gegeben durch ϕ: I → C, ϕ(a) = z1 und ϕ(b) = z2. Die Funktion
t ↦→ n( ϕ(t), K) ist nach Satz 5.4. stetig und damit auch konstant.
5.1. Definition
Sei z0 /∈ |K|. Als Umlaufszahl von K bezüglich z0 bezeichnet man
n(z0, K) := 1
dz
.
2πi K z − z0
n(z, K) = 0.6
5.7. Satz
Es gilt: lim
|z|→∞
(0) (kompakt). Sei |z0| ≥ M, so folgt: z0 /∈ |W |.
Beweis: Sei K = {W }. Wähle M so, daß |W | ⊂ U M
2
Für z ∈ |W | gilt:
5.2. Satz
n(z0, K) ∈ Z.
Beweis: Wir zeigen die Behauptung für den Fall K = {W }. Sei also W ein differenzierbarer
geschlossener Weg. Zu zeigen: e−2πi·n(z0,W ) = 1. W sei gegeben durch ϕ: [a, b] → C. ϕ sei stetig
1
|z0| − |z|
1
≤
1
z − z0
differenzierbar, es gelte ϕ(a) = ϕ(b). Sei I = [a, b] und F : I → C,
ϕ ′ (ξ)
ϕ(ξ) − z0
b
≤
.
dξ
−
F (t) := (ϕ(t) − z0) exp
|z0| − M
2
a
1
≤
F ist stetig differenzierbar, und es gilt:
|z0| − |z0|
2
b
−
ϕ ′ (t)
ϕ(t) − z0
ϕ ′ (ξ)
ϕ ′ (ξ)
ϕ(ξ) − z0
b
2
|z0| .
=
= 0.
dξ
− (ϕ(t) − z0) exp
dξ
−
ϕ(ξ) − z0
F ′ (t) = ϕ ′ (t) exp
a
a
Also folgt:
ϕ ′ (ξ)
ϕ(ξ) − z0
b
z
z − z0
dξ:
=
Gemäß Satz 1.15. ist dann F konstant: F = c ∈ C. Es gilt mit
dz
a
W
z − z0
|n(z0, K)| =
W
1
2πi
≤ 1 2
L(W )
2π |z0|
= L(W ) 1
|z0|π
F (a) = ϕ(a) − z0
= F (b)
ϕ ′ (ξ)
b
dξ
−
ϕ(ξ) − z0
= (ϕ(b) − z0) exp
a
≤ L(W ) 1
Mπ
< 1,
= (ϕ(b) − z0) exp(−2πi · n(z0, W ))
= (ϕ(a) − z0) exp(−2πi · n(z0, W ))
Also folgt: exp(−2πi · n(z0, W )) und damit n(z0, W ) ∈ Z.
L(W )
π . Da n(z0, K) ∈ Z, folgt: n(z0, K) = 0.
falls M >
5.3. Lemma
5.8. Beispiel
Sei W = D = Ur(z0), ϕ: [0, 2π] → C mit ϕ(t) = z0 + reit . Dann gilt:
1 dz
n(z0, W ) =
2πi W z − z0
2π
1 ϕ
=
2πi 0
′ (t)
dt
ϕ(t) − z0
2π
1 rie
=
2πi 0
it
dt
reit = 1.
b
f(x, t) dt. Dann folgt: F ist
Sei B ⊂ R n offen und f : B × [a, b] → C stetig. Sei F : B → C, F (x) :=
a
stetig.
Beweis: Siehe Analysis II.
5.4. Satz
Die Funktion C \ |K| → Z, z ↦→ n(z, K) ist stetig.
Beweis: Sei K = {W } und I = [a, b]. W sei gegeben durch ϕ: I → C. Definiere h: (C\|W |)×I → C,
dt ist stetig. Dann folgt:
ϕ ′ (t)
ϕ(t)−z
h(z, t) := 1
2πi
1 ϕ
2πi a
′ (t)
ϕ(t) − z dt
h(z, t) dt
b
Gemäß Folgerung 5.6. gilt dann:
n(z, K) =
n(z, W ) = 1 ∀ z : |z − z0| < r,
n(z, W ) = 0 ∀ z : |z − z0| > r.
b
=
a
5Genauer: Sei G ein Gebiet in C \ |K|. Dann ist n(z, K) konstant auf G.
6Oder: ∃ M > 0 ∀ z ∈ C : |z| ≥ M ⇒ n(z, K) = 0.
ist stetig in z nach Lemma 5.3.