Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

12. Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen 52
51 12. Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen
12.14. Bemerkung
C ist homöomorph zu S2 ⊂ R3 .
Bemerkung
a) Ist G zusammenhängend, dann folgt: M(G) ist ein Körper. Seien etwa f, g ∈ M(G) mit g = 0,
Beweis: Definiere
⊂ Pf ∪ Pg ∪ {g = 0}. Die Menge {g = 0} ist diskret
∈ M(G). Außerdem gilt: P f
g
dann folgt: f
g
.
ϕ: S 2 \ {(0, 0, 1)} → C, ϕ(x1, x2, x3) = x1 + ix2
1 − x3
nach dem Identitätssatz.
b) Ist G nicht zusammenhängend, dann existiert 1
g nicht.
Die Umkehrabbildung ist
1
x2 + y2 + 1 .
12.10. Satz
ϕ −1 (x + iy) = (2x, 2y, x 2 + y 2 − 1) ·
Sei f ∈ M(U) und z0 ∈ U. Dann existiert eine Umgebung V = V (z0) ⊂ U und g, h ∈ O(V ) mit f|V = g
h .
ϕ ist stetig und bijektiv, ϕ−1 ist wieder stetig.
Definiere nun als Fortsetzung: ϕ: S2 → C mit ϕ(N) = ∞, wobei N = (0, 0, 1). ϕ ist bijektiv. Nun
zur Stetigkeit:
Beweis: Wenn z0 kein Pol ist, so setze h = 1 und g = f. Ist z0 ein Pol n-ter Ordnung, so existiert
eine Umgebung V = V (z0) und g ∈ O(V ) mit f(z) = g(z)
(z−z0) n . Dann folgt: h(z) = (z − z0) n .
|ϕ(x1, x2, x3)| = ∞.
a) ϕ ist stetig in N, denn: lim
(x1 ,x2 ,x3 )∈S2 \N
12.11. Bemerkung
→(0,0,1)=N
b) ϕ−1 ist stetig in ∞, denn: lim
|x+iy|→∞ ϕ−1 (x + iy) = (0, 0, 1).
Sei f ∈ M(U) und sei Pf endlich. Dann existieren g, h ∈ O(U) mit f = g
h .23
Beweis: Sei Pf = {z1, . . . , zn} und g(z) = n j=1 (z − zj) mj f(z), wobei mj die Polstellenordnung von
h .
j=1 (z − zj) mj . Da f ∈ M(U), existieren g, h ∈ O(U) mit f = g
zj ist. Weiter ist h(z) = n
Damit ist ϕ ein Homöomorphismus von S 2 nach C.
Nebenbemerkung
Der 1-dimensionale komplex-projektive Raum P1(C) ist definiert durch C2 \ {0}/ ∼ mit
Bemerkung
Es gilt also: Aus G zusammenhängend folgt: M(G) ist der Quotientenkörper von O(G).
z ∼ w :⇐⇒ ∃ λ ∈ C 2 : z = λw.
12.12. Konstruktion der Riemannschen Zahlensphäre
C := C ∪ {∞} heißt Riemannsche Zahlensphäre.
P1(C) ist also die Menge der Geraden in C 2 durch den Punkt 0. Man kann zeigen: P1(C) ∼ C.
12.15. Satz
a) Jede meromorphe Funktion f ∈ M(U) definiert eine stetige Abbildung f : U → C durch f(z) = ∞
für z ∈ Pf .
b) Ist umgekehrt g : U → C stetig, so daß D := g−1 (∞) diskret ist und g| U\D ∈ O(U \ D), so ist
f = g| U\D meromorph, und Pf = D.
a) U ist eine Umgebung von ∞, wenn ein r > 0 existiert, so daß gilt: C \ Ur(0) ⊂ U.
b) Wie definieren eine Topologie auf C: Sei U ⊂ C. U heißt offen, wenn gilt:
i) U ∩ C ist offen.
ii) Ist ∞ ∈ U, so gibt es eine Umgebung von ∞.
Damit wird C zu einem topologischen Raum.
c) Man sagt (zn) → ∞, wenn für alle M > 0 ein n0 existiert, so daß für alle n ≥ n0 gilt: |zn| ≥ M
oder zn = ∞.
d) Sei Y ⊂ C und f : Y → C mit f(z0) = ∞. f ist in z0 stetig, wenn für jede Folge (zn) ⊂ Y mit
lim
n→∞ zn = z0 gilt: lim
n→∞ |f(zn)| = ∞. 24
Beweis:
a) Für z ∈ U \ Pf setze f(z) = f(z), für z ∈ Pf setze f(z) = ∞. Zu zeigen: f ist in z ∈ Pf stetig.
Sei dazu (zn) ⊂ U mit (zn) → z. Da z ∈ Pf , folgt: |f(zn)| = | f(zn)| → ∞. Also ist f in z ∈ Pf
stetig.
b) Zu zeigen: z ∈ D genau dann, wenn z ein Pol von f ist. Sei (zn) ⊂ U \ D mit (zn) → z. Es gilt:
g ist genau dann stetig in z, wenn lim
n→∞ |g(zn)| = lim
n→∞ |f(zn)| = ∞, genau dann, wenn z ein Pol
von f ist.
12.13. Satz
C ist kompakt. 25
Beweis: Sei (Ui)i∈I eine offene Überdeckung von C, also C =
i∈I Ui. Wähle i0 ∈ I, so daß ∞ ∈ Ui0 .
Dann existiert ein r > 0, so daß gilt: Ui0 ⊃ C \ Ur(0). Dann ist K := C \ Ui0 = C (Ui0 \ {∞})
abgeschlossen, da Ui0 \ {∞} offen in C ist. Ebenso gilt: K ⊂ Ur(0). Also ist K kompakt.
von K. Somit überdecken Ui0 , Ui1 , . . . ,
Sei U ′ i := Ui \ {∞} mit i ∈ I und i = i0. Dann bildet (U ′ i ) i∈I\{i0} eine offene Überdeckung von K in
C. Also existiert eine endliche Teilüberdeckung U ′ i1 , . . . , U ′ in
C.
Uin
23Die Voraussetzung, daß Pf endlich sein soll, kann weggelassen werden. Der Beweis ist dann jedoch schwieriger. Wir führen
ihn später für U = C.
24f ist z0 stetig bedeutet, daß das Urbild einer Umgebung von ∞ eine Umgebung von z0 ist.
25Erinnerung: Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn je zwei verschiedene Punkte von X disjunkte Umgebungen
besitzen (Hausdorffsches Trennungsaxiom) und jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung enthält.