Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

15. Der Satz von Mittag-Leffler 68
67 15. Der Satz von Mittag-Leffler
hat ebenfalls die Eigenschaft (∗ ∗ ∗), denn: Ohne Einschränkung sei
2 π
sin(πz)
2i (eiπz − e−iπz ) folgt:
Die Funktion z ↦→ −
z = iy. Mit sin(πz) = 1
| sin(πz)| = 1
2 · |e−πy − e πy |
→ ∞. (|y| → ∞)
Damit hat auch
f ′ 2 π
0(z) = −
+ f1(z)
sin(πz)
die Eigenschaft (∗ ∗ ∗). f ′ 0 ist holomorph und periodisch mit Periode 1. Wegen (∗ ∗ ∗) und der
Holomorphie ist f ′ 0|S beschränkt. Aus dem Satz von Liouville folgt: f ′ 0 ist konstant. Die Eigenschaft
(∗ ∗ ∗) bedeutet: lim
y→∞ |f ′ 0(x, y)| = 0. Daraus folgt: f ′ 0 = 0. Hieraus folgt a) und b).
15.7. Satz
a) 1
1 1
+ + = π · cot(πz). (Partialbruchentwicklung von cot)
z z − ν ν
ν∈Z\{0}
∞
2 1
π
b)
=
für z ∈ C \ Z.
(z − ν) 2 sin(πz)
ν=−∞
Beweis: f(z) = π · cot(πz) und 1
1 1
z + ν∈Z\{0} z−ν + ν lösen die gleiche Mittag-Leffler-Verteilung.
Also existiert nach der Bemerkung zu Satz 15.5. ein f0 ∈ O(C), so daß gilt:
f(z) = f0(z) + 1
1 1
+ + .
z z − ν ν
ν∈Z\{0}
Differenzieren liefert:
15.8. Folgerung
2
∞
1
(z − ν) 2
= f ′ 0(z) − 1
−
z2
π
sin(πz)
−
für z /∈ Z + 1
2 .
1
+
) ν + 1
2
1
z − (ν + 1
2
a) π · tan(πz) = −
ν∈Z\{0}
ν=−∞
1
(z − ν) 2
∞
2z
z2 für z /∈ Z.
− ν2 ∞
(−1) ν
= f ′ 0(z) −
1
=
z +
π
sin(πz)
b)
ν=−∞
ν=1
= f ′ 0 − f1(z).
. Dann folgt:
Beweis:
a) Verwende Satz 15.7. a) und cos(πz) = sin π z + 1
2
2
Wir stellen fest: f1 hat Periode 1, d.h. es gilt: f1(z+1) = f1(z). Wir wollen nun f1 näher untersuchen.
Betrachte dazu die Menge
S := {z = x + iy | 0 ≤ x ≤ 1, |y| ≥ 1}.
2 .
1
1 z − ν + 2
=
π
cos(πz)
ν∈Z
Sei z ∈ S. Wegen
Mittels Integration folgt:
(∗)
1
(x − ν) 2 + (y − ν) 2
1
=
(z − ν) 2
.
+ 1
ν + 1
2
1
z − ν + 1
2
π · tan(πz) = −
1
,
ν2 gilt für ν /∈ {0, 1}:
ν∈Z
. (∗∗)
1
(ν − 1) 2
2 ≤ max
1
(z − ν)
1
konvergiert absolut und gleichmäßig auf S.
(z − ν) 2
∞
Also folgt mit dem Majoranten-Kriterium:
1
sin(πz) .
Die Integrationskonstante ist 0, weil π · tan(π · 0) = 0.
b) Es reicht, für z ∈ R nachzuweisen:
cot(πz) + tan π z
=
2
ν=−∞
Sei nun ε > 0. Wähle ein ν0 > 0, so daß gilt:
Mit Satz 15.7. b) und 15.8. a) folgt:
S
1
(z − ν) 2
ν0
< ε
2 .
f1 −
1
+
2ν + 1
1
z − (2ν + 1)
−
1
+
2ν
1
z − ν
+
1
=
z
π
sin(πz)
µ=−ν0
ν∈Z
ν∈Z\{0}
Dies ist möglich wegen der gleichmäßigen Konvergenz. Wähle nun R so groß, daß für |Imz| > R gilt:
2z
z2 .
− ν2 ∞
(−1) ν
= 1
z +
1 ε
<
|z − ν| 2 2
ν=1
. (∗∗)
|ν|≤ν0
15.9. Satz und Definition
Die Funktion
z
f(z) = ez z = 0,
− 1
1 z = 0,
ist holomorph auf U = {z |z| < 2π}. Die Potenzreihenentwicklung von f um 0 hat die Form
z
ez z
= 1 −
− 1 2 +
∞ B2ν
(2ν)!
ν=1
z2ν .
Insgesamt gilt nun für z ∈ S mit |Imz| > R:
1
(z − ν) 2
ν0
+
1
(z − ν) 2
ν0
f1(z) −
|f1(z)| ≤
ν=−ν0
ν=−ν0
< ε.
Da f1 periodisch ist, folgt:
∀ ε > 0 ∃ R > 0 : |Imz| > R ⇒ |f1(z)| < ε. (∗ ∗ ∗)
Die B2ν heißen Bernoulli-Zahlen.
Die Behauptung folgt mit der Periodizität von f.