Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

18. Der Satz von Montel 86
85 18. Der Satz von Montel
18.6. Satz von Montel
Sei U ⊂ C offen. Sei (fν) eine Folge in O(U), die lokal beschränkt ist. Dann hat (fν) eine kompakt
konvergente Teilfolge.
18.3. Definition
Sei U ⊂ Rn offen und F = {f | f : U → R}. F heißt
Beweis: Die Behauptung folgt aus Satz 18.4. und Hilfssatz 18.5.
f ∈ F} gleichgradig stetig,
f ∈ F} beschränkt.
lokal gleichgradig stetig :⇐⇒ ∀ x ∈ U ∃ V = V (x) ⊂ U : {f|V
lokal beschränkt :⇐⇒ ∀ x ∈ U ∃ V = V (x) ⊂ U : {f|V
Bemerkung
Der Satz von Montel ist falsch für reell-analytische Funktionen. Sei etwa fn : R → R, fn(x) = sin(nx).
Es gilt: |fn(x)| ≤ 1, also ist (fn) lokal beschränkt. Es gibt aber keine kompakt konvergente Teilfolge, da
(fn) nicht gleichgradig stetig ist. 51
18.4. Satz von Arzelà-Ascoli (modifizierte Version)
Sei U ⊂ Rn offen und fν : U → R für ν ∈ N. (fν) sei lokal gleichgradig stetig und lokal beschränkt. Dann
hat (fν) eine kompakt konvergente Teilfolge.
18.7. Definition
Eine Teilmenge F ⊂ O(U) heißt Familie holomorpher Funktionen. F heißt normale Familie, wenn jede
Folge in F eine kompakt konvergente Teilfolge hat.
Beweis: Analog wie in Satz 18.2.
18.8. Folgerung
Jede lokal beschränkte Familie ist normal.
Bemerkung
Der Satz von Arzelà-Ascoli gilt genauso für komplexwertige Funktionen: Betrachte einfach den Realbzw.
Imaginärteil.
Bemerkung
Sei F normal. Dann folgt: F ist lokal beschränkt.
Beweis: Sei K ⊂ U kompakt. Zu zeigen: sup{fK | f ∈ F} < ∞. Angenommen, das Supremum
wäre ∞. Dann gibt es eine Folge (fν) in F, so daß gilt: limν→∞ fνK = ∞. Da F normal ist, hat
(fν) eine kompakt konvergente Teilfolge. Dies ist jedoch ein Widerspruch.
Nebenbemerkung
F ist genau dann lokal beschränkt, wenn für alle kompakten K ⊂ U gilt: {f|K
f ∈ F} ist beschränkt.
Beweis:
” ⇒“: Für alle x gibt es ein U = U(x), so daß für alle f ∈ F und für alle x ∈ U gilt: |f(x)| ≤ Cx.
Sei nun K ⊂
x∈K U(x), so gibt es eine endliche Teilüberdeckung U(x1), . . . , U(xs) mit obigen
” ⇐“: Klar.
18.5. Hilfssatz
Sei U ⊂ C offen und F ⊂ O(U). Sei F lokal beschränkt. Dann gilt: F ist lokal gleichgradig stetig.
Beweis: Sei z0 ∈ U. Wähle ein r > 0, so daß gilt: V := Ur(z0) ⊂ U. Definiere: V ′ := U r
2 (z0)
⊂ V .
Zu zeigen: {f|V
f ∈ F} ist gleichgradig stetig.
Wähle K > 0, so daß für alle f ∈ F und für alle x ∈ V gilt: |f(x)| ≤ K. Sei ε > 0 gegeben. Für z1,
Eigenschaften. Wähle nun: C := max1≤j≤s Cxj .
18.9. Beispiele für normale Familien
a) Sei U ⊂ C offen und U ′ ⊂ C offen und beschränkt. Dann ist {f ∈ O(U) | f(U) ⊂ U ′ } normal.
b) Sei M > 0. Definiere
∞
⊂ O(D).
|z| < 1, |aν| ≤ M ∀ ν
aνz ν
f(z) =
F :=
ν=0
Sei 0 < r < 1. Für |z| < r gilt:
∞
z2 ∈ V ′ gilt:
|aν| · |z| ν
|f(z)| ≤
ν=0
∞
|z| ν
≤ M ·
|f(z2) − f(z1)| = f
[z1,z2]
′
(z) dz
≤ |z2 − z1| · max
z∈V ′ |f ′ (z)|.
ν=0
1
1 − r .
geom. Reihe
= M ·
Mit Hilfe der Cauchyschen Ungleichung gilt:
f(ξ)
(ξ − z)
2 dξ
1
2πi
c) Sei F ⊂ O(U) normal. Sei k ∈ N. Dann ist auch F (k) = f (k) | f ∈ F normal.
Beweis: Sei z0 ∈ U. Wähle ein r > 0, so daß Ur(z0) ⊂ U und daß für alle f ∈ F gilt:
f ≤ M. Ur(z0) 52 Die Cauchysche Ungleichung liefert:
|f ′ (z)| =
∂V ′
2
≤ r K
r
2
f (k) ≤ Ur(z0) 2k!M
rk .
= 4K
r .
Sei G ⊂ C ein Gebiet und r > 0. Dann ist
F = f ∈ O(G) | f ∈ L 2 (G), fL2 =
Insbesamt gilt also für alle z1, z2 ∈ V ′ :
|f(z)| 2 dλ2(z) ≤ r
|f(z2) − f(z1)| ≤ 4K
r |z2 − z1|.
normal. 53
. Für alle f ∈ F gilt dann:
Diese Ungleichung ist unabhängig von f! Wähle nun δ := rε
4K
51Bemerkung: Der komplexe Sinus ist nicht beschränkt.
52So ein M existiert, da F lokal beschränkt ist.
53f ∈ L2 (G) bedeutet: f ist quadratintegrierbar über G.
|f(z2) − f(z1)| ≤ ε.