Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

13. Der Residuensatz 58
57 13. Der Residuensatz
Somit ergibt sich:
resξR + resξ3R = 1
2 √ 2i .
Als Endergebnis kommt somit heraus:
,
13.10. Folgerung
Seien p, q ∈ C[z]. R = p
q habe keine Pole auf R, und es gelte: grad q > grad p. Es gilt:
∞
R(x) cos(x) dz = πi resz(R(ξ)e
−∞
Imz>0
iξ ) −
resz(−R(ξ)e
Imz grad p. Dann gilt:
13.9. Satz
Seien p, q ∈ C[z]. R = p
q
∞
n2
∞
resz(R(ξ)e −iξ ).
R(x)e −ix dx = −2πi
R(x)e ix dz
Imz0
cos x = 1
2 (eix + e −ix ),
2i (eix − e −ix ).
sin x = 1
Beweis: Wähle r1, r2 und s so groß, daß alle Pole von R mit positivem Imaginärteil im Inneren von
Q liegen. Der Residuumsatz liefert dann:
R(z)e iz dz = 2πi
resz(R(ξ)e iξ ).
Imz>0
∂Q
13.11. Bemerkung
In Folgerung 13.10. gelte zusätzlich: R(R) ⊂ R. Dann gilt:
Daraus folgt:
r2
∞
∞
R(z)e iz dz.
resz(R(ξ)e iξ ) −
R(x)e ix dx = 2πi
R(x)e ix dx
R(x) cos x dx = Re
W1+W2+W3
Imz>0
−r1
−∞
−∞
Es ist zu zeigen:
resz(R(ξ)e iξ ).
= −2πIm
R(z)e iz dz → 0
Imz>0
für r1, r2, s → ∞.
Wähle C, so daß R(z) ≤ C
|z| auf |W1|, |W2| und |W3|. Dies ist möglich, weil gilt: grad q > grad p und
r1, r2, s groß sind. Dann gelten folgende Abschätzungen:
a) Mit z = x + iy und y = s gilt:
R(z)e
W2
iz
dz
=
−r1
R(x + is)e
r2
ix e −s
dx
≤ (r1 + r2) · C
· e−s
s
→ 0. (r1, r2, s → ∞, s = r1 + r2)
W1+W2+W3
Analog für sin.
13.12. Beispiel
cos x
x2 π
dx =
+ a2 2a e−a .
∞
Für a > 0 gilt:
0
Beweis: Es gilt:
∞
∞
2 dx
cos x
x2 + a
1
2
cos x
x2 dx =
+ a2
e iξ
−∞
0
ξ 2 + a 2
resz
= −πIm
C ≤ r2 und 1
0 e−ts dt = 1 1
s − s e−s ≤ 1
s gilt:
R(z)e
W1
iz
dz
=
1
R(r2 + its)e
0
ir2−ts
is dt
1
≤ RW1 · s · e −ts dt
b) Mit RW1
Imz>0
e iξ
(∗)
= −πIm resia
ξ 2 + a 2
13.5. e
= −πIm i(ia)
2ia
π
=
2a e−a .
0
≤ C
r2 1
Bei (∗) gilt: Die Pole von ξ2 +a2 sind ia und −ia. Man kann also schreiben: ξ2 + a2 = (ξ + ia)(ξ − ia).
→ 0. (r2 → ∞)
c) Analog erhält man:
.
C
≤
r1
R(z)e iz dz
W3
Sei A eine endliche Menge. Über R wurde verwendet: R ∈ O(C \ A), hat keine Pole in R, und es gilt:
limz→∞ |R(z)| = 0.