Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

15. Der Satz von Mittag-Leffler 70
69 15. Der Satz von Mittag-Leffler
Mit Hilfe der geometrischen Reihe folgt:
∞
aνz ν mit a0 = f(0) = 1. Dann folgt:
Beweis: Schreibe f(z) =
µ
z 2
∞
ν=0
.
ν 2
1
z2 1
= −
− ν2 ν2 z
∞ ν=1 zν
ν!
∞
µ=0
.
aνz ν =
Somit folgt:
ν=0
µ
z 2
∞
∞
∞
∞
Also:
ν 2
− 1
ν2 πz · cot(πz) = 1 + 2z 2
.
zν ν!
·
aνz ν
z =
µ=0
∞
ν=1
ν=1
ν=0
∞
Ein Koeffizientenvergleich liefert:
z 2µ .
1
ν 2µ
= 1 − 2
ν=1
µ=1
z = a1z · 0 + a0 · z,
b) Es gilt:
0 = a2z 2 · 0 + a1z · z + a0 · 1
2 z2 .
cot(z) = cos(z)
sin(z)
= i · eiz + e−iz Somit gilt für den linearen Term: a0 = 1, und für den quadratischen Term: a1 = − 1
2 . Betrachte
allgemein g(z) := f(z) + z
2 . Rechne nach, daß gilt: g(z) = g(−z). Somit verschwinden die ungeraden
Terme der Potenzreihenentwicklung von g um 0. Es verschwinden aber auch alle ungeraden Terme
vom Grad größer gleich 3 der Potenzreihenentwicklung von f um 0.
2iz e + 1
= i ·
e2iz
− 1
2i
= i +
e2iz − 1 .
e iz − e −iz
15.10. Bemerkung
∞
1 − z
2 +
Die Gleichung
zν ν!
∞
Also folgt:
·
B2ν
(2ν)! z2ν
z =
ν=1
ν=1
z · cot(z) = iz + 2iz
e2iz − 1
ergibt durch Koeffizientenvergleich eine Rekursionsformel für B2ν. Insbesondere gilt: B2ν ∈ Q. Für die
ersten Koeffizienten gilt:
∞
2µ B2µ
2
(2µ)! (iz)2µ
1 − iz
2 +
= iz + 2i
µ=1
B2 = 1
6 ,
µ 22µ
∞
(−1)
B4 = 1
30 ,
(2µ)! z2µ .
= 1 +
µ=1
B6 = 1
42 ,
Ersetze nun z mit πz, so folgt die Behauptung.
B8 = − 1
30 .
15.11. Hilfssatz
(2µ)! B2µπ 2µ mit µ ∈ N. Insbesondere:
15.12. Folgerung
∞ 1
ν
∞
1
ν 2µ
∞
2µ = (−1)µ+1 22µ−1
ν=1
z 2µ für |z| < 1.
a) πz · cot(πz) = 1 − 2
∞
für µ = 1.
1 π2
=
ν2 6
a)
ν=1
∞
(−1)
µ=1
ν=1
µ 22µ
(2µ)! π2µ B2µz 2µ .
b) πz · cot(πz) = 1 +
1 π4
b) = für µ = 2.
ν4 90
ν=1
Beweis: Führe einen Koeffizientenvergleich von a) und b) in Hilfssatz 15.11. durch.
∞
µ=1
Beweis:
a) Es gilt:
2ν
=
z2 .
− ν2 1
−
ν
1
+
2 + ν
1
+
ν
1
2 − ν
Mit Satz 15.7. folgt dann:
1
z − ν
∞
1
+
ν
πz + cot(πz) = 1 +
ν=−∞
2ν
z2 .
− ν2 ∞
= 1 + z
ν=1