Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

17. Biholomorphe Abbildungen 78
77 17. Biholomorphe Abbildungen
≤ c.
1
z
h Also:
17.3. Definition
|z k | ·
a) Seien U, V ⊂ C offen und f : U → V holomorph (als Abbildung U → C). f heißt biholomorph,
wenn f : U → V bijektiv ist und f −1 : V → U holomorph ist.
Für m > k folgt nun:
1
h · |z|
z
m → 0.
Daraus folgt (∗).
Sei nun (an) eine Folge in C mit an ∈ C. Wenn (an) keinen Häufungspunkt in C besitzt, folgt:
limn→∞ |an| = ∞. ∞ ist also ein Häufungspunkt von (an). Nun gilt:
b) U und V heißen biholomorph äquivalent, wenn ein biholomorphes f : U → V existiert.
c) Eine biholomorphe Abbildung f : U → U heißt Automorphismus von U. Schreibe:
Aut(U) = {f : U → U | f Automorphismus}.
Dabei ist Aut(U) eine Gruppe.
n
gµ(z).
f(z) = h(z) +
µ=1
zµ=∞
17.4. Beispiel
a) Sei p ∈ C[z] mit grad p ≥ 1. p definiert dann p: C → C mit p(∞) := ∞. 42 Es gilt:
Der erste Summand ist ein Polynom, der zweite ist rational. Also ist auch f rational.
p ∈ Aut( C) ⇐⇒ grad p = 1.
Bemerkung
Sei h: C → C holomorph und habe in ∞ einen Pol der Ordnung k. Dann ist h ein Polynom vom Grade
k.
b) Seien p, q ∈ C[z], grad p ≥ 1, grad q ≥ 1 und f := p
q ∈ M(C). Setze f fort zu f : C → C, so daß der
Funktionswert von f bei jedem Pol ∞ ist.
i) Ist grad p > grad q, so setze: f(∞) := ∞.
ii) Ist grad p < grad q, so setze: f(∞) := 0.
17.6. Satz
Sei f ∈ Aut( C). Dann ist f eine gebrochen-lineare Transformation. 45
Beweis:
1. Fall: f(∞) = ∞. Dann folgt: f|C ∈ Aut(C). Mit 17.8. gilt nun: f(z) = az + b mit a ∈ C \ {0} und
b ∈ C. Insbesondere gilt: c := 1 und d := 0.
iii) Ist grad p = grad q, so setze: f(∞) := an
bn .43
Jede rationale Funktion auf C definiert also eine holomorphe Abbildung C → C.
2. Fall: f(∞) = c ∈ C. Betrachte g : C → C,
17.5. Satz
a) Sei f : C → C holomorph. Dann ist f konstant.
0 = z = ∞,
1
z−c
⎧
⎨
b) Sei f : C → C holomorph. Dann ist f rational. 44
∞ z = 0,
0 z = ∞.
⎩
g(z) =
Also gilt: g ∈ Aut( C). Betrachte nun: h := g ◦ f. Es gilt: h ∈ Aut( C), da h eine Komposition
von zwei Automorphismen ist, sowie h(∞) = ∞. Gemäß Fall 1 gibt es dann a ′ , b ′ ∈ C, so daß
gilt: h(z) = a ′ z + b ′ . Es folgt:
f(z) = (g −1 ◦ h)(z)
= g −1 (h(z))
= g −1 (a ′ z + b ′ ).
Beweis:
a) Da C (als Sphäre) kompakt ist, nimmt |f| das Maximum in z0 ∈ C an.
1. Fall: z0 = ∞. f|C hat also sein Maximum in z0. Nach dem Maximumsprinzip ist dann f|C
konstant. Mit der Stetigkeit folgt: f ist konstant.
2. Fall: z0 = ∞. Betrachte g : C → C, z ↦→ f
1
z . g hat sein Maximum im Punkte 0 (da f sei
Maximum in ∞ hat: g(0) = f(∞)), also ist g nach dem Maximumsprinzip konstant. Also ist
auch f konstant.
b) Da f −1 (∞) diskret und C kompakt ist, ist f −1 (∞) endlich, also etwa: f −1 (∞) = {z1, . . . , zn}.
Für zµ = ∞ sei gµ der Hauptteil der Laurentreihenentwicklung von f um zµ. Definiere nun:
n
f ist also gebrochen-linear.
gµ(z) + f(z).
h(z) := −
17.7. Satz
Sei f ∈ Aut(C). Dann gibt es a ∈ C∗ , b ∈ C, so daß für alle z gilt:
µ=1
zµ=∞
h|C ist holomorph. Es gilt:
f(z) = az + b.
h(z)
→ 0, (|z| → ∞) (∗)
|z| m
Beweis: Es reicht zu zeigen: f ist ein Polynom. Dafür ist wiederum zu zeigen: ∞ ist ein Pol, d.h.
keine wesentliche Singularität.
Angenommen, ∞ ist eine wesentliche Singularität. Dann hat g(z) := f
1
z in 0 eine wesentliche
Singularität. Mit dem Satz von Casorati-Weierstraß folgt: g(U1(0)) ist dicht in C. Somit ist auch
f(C \ U1(0)) dicht in C. f(U1(0)) ist ein Gebiet in C, also insbesondere offen. Weil f injektiv ist, gilt:
f(U1(0)) ∩ f(C \ U1(0)) = ∅. Dies ist jedoch mit den obigen Eigenschaften nicht möglich.
d.h. insbesondere |h(z)| ≤ C|z| m . h ist somit ein Polynom.
Zur Begründung von (∗): h hat einen Pol in ∞, d.h. h
1
z := g(z) hat einen Pol in 0 mit
Polstellenordnung k. Also ist g(z)|z| k holomorph in U(0). Es gilt:
|z k | · |g(z)| = c.
45 az+b
Es gibt also a, b, c, d ∈ C mit ad − bc = 0, so daß für alle z ∈ C gilt: f(z) = cz+d .
42 1
p ist holomorph in ∞, weil p einen Pol in 0 hat.
z
43Wobei: p(z) = anzn + . . . und q(z) = bnzn + . . ..
44 p(z)
Es gibt also p, q ∈ C[z] mit q = 0, so daß für alle z ∈ C mit q(z) = 0 gilt: f(z) = q(z) .