Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

12. Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen 50
49 12. Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen
ν=−n aν(z − z0) ν mit a−n = 0. Weiter gilt:
” ⇐“: Es gilt: f(z) = ∞
∞
aν(z − z0) ν+n
(z − z0) n f(z) =
ν=−n
Bemerkung
In Satz 10.8. ist f : C → C holomorph und kein Polynom. Also gilt für alle r > 0: f(C \ Ur(0)) ist dicht
in C. Der Punkt“ ∞ ist also eine wesentliche Singularität von f, also: 0 ist eine wesentliche Singularität
”
von z ↦→ f
1
z .
∞
aν−n(z − z0) ν
=
ν=0
12.5. Satz von Casorati-Weierstraß
konvergiert in Ur(z0) und hat keine Nullstellen in z0.
c) Klar mit a) und b).
Sei z0 eine isolierte Singularität von f ∈ O(U \ {z0}). Dann gilt: z0 ist genau dann eine wesentliche
Singularität, wenn für alle w0 ∈ C eine Folge (zn) ⊂ U mit lim
n→∞ zn = z0 existiert, so daß gilt:
12.7. Beispiel
a) e 1
z hat eine wesentliche Singularität in 0, denn:
lim
n→∞ f(zn) = w0.
ν 1
ν!
1
z
∞
e 1
z =
Also: Für alle V = V (z0) ist f(V \ {z0}) dicht in C.
Beweis:
ν=0
z−ν ν!
∞
=
” ⇒“: Annahme, es existiert ein V = V (z0), so daß f(V \ {z0}) nicht dicht in C ist. Dann existieren
ein w0 ∈ C und ein ε > 0, so daß gilt: f(V \ {z0}) ∩ Uε(w0) = ∅. Also gilt für alle V \ {z0}:
|f(z) − w0| ≥ ε. Definiere nun die Funktion
ν=0
zν (−ν)! .
0
=
.
1
f(z) − w0
g : V \ {z0} → C, g(z) :=
ν=−∞
Dann folgt: |g(z)| ≤ ε für alle z ∈ V \ {z0}. Also ist g| V \{z0} beschränkt. Somit existiert eine
hat entweder eine holomorphe
g(z)
holomorphe Fortsetzung g in z0. Daraus folgt: f(z) = w0 + 1
Fortsetzung19 oder einen Pol20 in z0, was ein Widerspruch ist.
” ⇐“: Trivial, da z0 weder hebbar noch ein Pol ist.
ν z2ν+1
12.6. Satz
(2ν + 1)!
Also: aν = 1
(−ν)! für ν ≤ 0 und aν = 0 für ν > 0.
b) Folgende Funktion ist holomorph auf C fortsetzbar:
sin z
f(z) =
z
= 1
∞
(−1)
z
ν=0
− . . .
z4
+
5!
= 1 − z2
3!
Sei U ⊂ C offen, z0 ∈ U und f ∈ O(U \ {z0}). Sei U0,r(z0) ⊂ U. Sei f(z) = ∞ ν=−∞ aν(z − z0) ν für alle
z ∈ U0,r(z0). Dann gilt:
Nun eine Funktion mit einem Pol 1. Ordnung:
a) z0 ist genau dann eine hebbare Singularität, wenn aν = 0 für alle ν < 0.
b) z0 ist genau dann ein Pol der Ordnung n, wenn a−n = 0 und aν = 0 für ν < −n.
sin z
z2 g(z) =
c) z0 ist genau dann eine wesentliche Singularität, wenn aν = 0 für unendlich viele ν < 0.
+ . . .
z
−
3!
= 1
z
1
z(z−1) 8 hat in 0 einen Pol der Ordnung 1 und in 1 einen Pol der Ordnung 8.
c) Die Funktion f(z) =
12.8. Definition
Sei U ⊂ C offen. Eine meromorphe Funktion ist eine holomorphe Funktion f : U \ Pf → C, wobei gilt:
Beweis:
a) z0 ist genau dann hebbar, wenn f eine holomorphe Fortsetzung f besitzt. Die Potenzreihenentwicklung
von f ist identisch mit der Laurentreihenentwicklung von f, daher gilt: aν = 0 für
ν < 0.
b) ⇒“: (z − z0)
” nf(z) ist holomorph und hat keine Nullstellen in z0, weil die Polordnung n ist. Es
gilt:
a) Pf ⊂ U ist diskret, d.h. ohne Häufungspunkt in U.
b) Jedes z ∈ Pf ist ein Pol von f.
∞
aν(z − z0) ν
(z − z0) n f(z) = (z − z0) n
ν=−∞
Pf heißt die Polstellenmenge von f. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf U wird mit M(U)
bezeichnet.
∞
aν(z − z0) ν+n
=
ν=−∞
12.9. Bemerkung
M(U) ist C-Algebra. 22
∞
bν(z − z0) ν .
=
ν=0
22 Sei Ω eine Menge und A ⊂ 2 Ω ein System von Teilmengen. A heißt Algebra, wenn gilt:
a) Ω ∈ A.
b) Aus A ∈ A folgt: ∁A ∈ A.
c) Aus A1, A2 ∈ A folgt: A1 ∪ A2 ∈ A.
Ein Koeffizientenvergleich liefert: a−n = b0 = 0, aν = 0 für ν < −n. 21
19wenn g(z0) = 0
20wenn g(z0) = 0
21Siehe auch Übungsblatt 6, Aufgabe 3.