Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

15. Der Satz von Mittag-Leffler 66
65 15. Der Satz von Mittag-Leffler
Bemerkung
Sei f ∈ M(C), dann gilt: f definiert eine Mittag-Leffler-Verteilung. f habe die Pole aν mit Hauptteilen
hν in aν. Mit Satz 15.5. folgt dann:
∞
(hν − Pν)(z)
g(z) := h0(z) +
15.4. Folgerung
Seien fν ∈ M(U) und ∞ ν=1 fν sei kompakt konvergent. Es sei P := ∞ ν=1 P (fν). Dann ist P diskret in
U, und die Funktion
∞
f : U \ P → C, f(z) := fν(z)
ν=1
ν=1
ist meromorph auf C, wenn Pν das Taylorpolynom von hν um 0 von genügend hohem Grad ist.
Wenn nun g die gleiche Mittag-Leffler-Verteilung wie f hat, so folgt:
f(z) = h(z) + g(z),
ist holomorph auf U \ D, meromorph auf U und es gelte: P (f) ⊂ P .
Beweis:
a) Zur Diskretheit von P : Wäre P nicht diskret in U, so hätte P einen Häufungspunkt z0 ∈ U.
Dann gilt für K = Uε(z0) ⊂ U: K ∩ P (fν) = ∅ für unendlich viele ν. Dies ist ein Widerspruch
wobei gilt: h ∈ O(C).
15.6. Beispiel
Sei (aν) eine Folge in C mit a0 = 0, lim
ν→∞ |aν| = ∞ und |aν| ≤ |aν+1|.
zur Voraussetzung. 33 Also ist P diskret.
b) Da ∞ ν=1 fν auf U \ P kompakt konvergiert, ist f = ∞ ν=1 fν holomorph auf U \ P .
c) Zu zeigen: f hat höchstens Pole in z0. Sei z0 ∈ P . Seien ε > 0 und K := Uε(z0). Also existiert
ein ν0, so daß für alle ν ≥ ν0 gilt: f| Uε(z0) ist holomorph. Für ν ≥ ν0 gilt auf Uε(z0):
a) Wir wollen nun f ∈ M(C) so konstruieren, so f in aν einen Pol 1. Ordnung hat mit Residuum
ν0−1
cν
z−aν .
cν = 0, also mit Hauptteil
fν.
fν +
f =
ν2 mit ν ≥ 1. Die Potenzreihenentwicklung um 0 ist
1
= −
z − aν
1
∞
µ
z
.
aν aν
µ=0
Sei dazu εν = 1
ν=1
ν≥ν0
Da erste Summand ist gleichmäßig konvergent, und somit holomorph. Der zweite Summand ist
eine endliche Summe von meromorphen Funktion, und somit auch selbst meromorph. Somit hat
f höchstens Pole in z0.
2 gilt:
1
z
− aν
Wähle kν so, daß für |z| ≤ |aν|
µ
< 1
ν2 |cν| .
z
kν
15.5. Satz von Mittag-Leffler für C
aν
+ 1
aν
µ=0
Sei D ⊂ C diskret und M = {hν} eine Mittag-Leffler-Verteilung zu D = {zν | ν ∈ I}, wobei I endlich
oder abzählbar ist. Dann hat M eine Lösung. Genauer gilt:
Die Funktion
f(z) = c0
z +
∞
kν 1 z
cν +
z − aν
ν=1
µ=0
ν
a µ+1
ν
mit f ∈ M(C) löst die vorgegebene Mittag-Leffler-Verteilung. Die hν hängen von den aν ab.
b) Sei speziell aν = ν, cν = 1 für ν ∈ Z. Bei a) können wir nun kν = 0 setzen. Dafür müssen wir
zeigen: Die Funktion
f(z) = 1
1 1
+ +
z z − ν ν
a) Sind Pν ∈ O(C), so daß f := h0 + ∞ ν=1 (hν − Pν) kompakt konvergiert, so ist f Lösung von M.
b) Ist Pν das Taylorpolynom von hν um 0 mit ν ≥ 1 und genügend hohem Grad, so ist f := h0 +
∞
ν=1 (hν − Pν) kompakt konvergent, also Lösung. 34
ν=0
ν∈Z
Beweis:
a) Mit 15.4. gilt: f ∈ M(C). Es bleibt zu zeigen: f hat Hauptteil hν0 in zν0 : Pν ist holomorph, und
hν ist ebenfalls holomorph in U(zν0 ) für alle ν = ν0. Weil D diskret ist, gibt es eine Umgebung
U(zν0 ), so daß gilt: U(zν0 ) ∩ D = {zν0 }.
b) Setze rν := 1
2 |zν|, ν ∈ N und Uν := Urν (0). Wähle eine Folge (εν) in (0, ∞) mit ∞ ν=1 εν < ∞,
konvergiert kompakt. Dann würde nämlich folgen: Diese Funktion f ∈ M(C) hat einfache Pole mit
Residuum 1 in Z, ansonsten ist sie holomorph.
Wir weisen nun die Konvergenz nach. Es gilt:
1 1
+
z − ν ν =
|z|
|ν| · |z − ν| .
ν2 . Dann gilt: hν ∈ O(Uν) und
. . .
hν =
+ . . . nν (z − z0)
zum Beispiel εν = 1
ist holomorph auf C \ {z0}. Somit erfüllt das Taylorpolynom Pν von genügend hohem Grad von
Damit gilt für |z| ≤ R und |ν| > 2R, also |z − ν| ≥ R
2 :
1 1
+
2R
z − ν ν ≤ .
ν2 hν in 0 die Gleichung 35
< εν.
hν − Pνnν
Also folgt:
Sei nun U = Ur(0) und r > 0 beliebig. Wähle ν0, so daß für alle ν ≥ ν0 gilt: U ⊂ Uν. Dies ist
möglich, weil D (ohne Einschränkung sei D nicht endlich) keine Häufungspunkte besitzt. Also
gilt: |zν| → ∞, d.h. rν → ∞. Also gilt für alle ν ≥ ν0:
1
ν 2
∞
|f(z)| ≤ 2R
hν − PνU < εν.
ν=1
< ∞.
Weil ∞ ν=1 εν < ∞, folgt nach dem Majoranten-Kriterium: f := h0 + ∞ ν=1 (hν − Pν) konvergiert
kompakt auf U. Da dies für alle r gilt, gilt die kompakte Konvergenz auf ganz C. Mit 15.4. folgt:
f ∈ M(C).
Also gilt: f ∈ M(C) mit Polen 1. Ordnung in Z und Residuum 1, ansonsten holomorph. Die
Funktion
f(z) = π · cot(πz)
hat obige Eigenschaften.
33Diese lautet: Für alle k existiert ein ν0, so daß für alle ν ≥ ν0 gilt: P (fν) ∩ K = ∅.
34Der Satz von Mittag-Leffler gilt auch für beliebige G ⊂ C.
35 Dies ist eine Potenzreihenentwicklung von hν um 0.