Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

6. Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen 30
29 6. Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen
b) g(z) := f(z)
1
− 1. Wende nun a) an mit ε =
anzn 2 . Dann existiert ein r′ ≥ 1, so daß aus |z| ≥ r ′
folgt: |g(z)| < 1
2 . Es folgt:
6.8. Satz (Satz von Liouville)
|f(z)| = |anz n (1 + g(z))|
= |an| · |z| n · |1 + g(z)|
Sei f ∈ O(C) und f beschränkt. Dann gilt: f ist konstant.
∞
Beweis: Sei f(z) = aνz ν . Zu zeigen: aν = 0 für alle ν ≥ 1.
Wähle M, so daß für alle z ∈ C gilt: |f(z)| ≤ M. Sei 0 < r < ∞. Dann folgt:
aν = 1
f(ξ)
dξ.
2πi ∂Ur(0) ξν+1 ν=0
|g(z)|< 1
2
> |an| · |z| n · 1
2
|z|≥1
≥ |an| · |z| · 1
2
n≥1
≥ m
Hieraus folgt:
für |z| hinreichend groß.
Bemerkung
Hilfssatz 6.10. ist falsch für f : C → C holomorph, aber kein Polynom. Zum Beispiel für f = exp, denn:
exp |iR ist beschränkt, da |eix | = 1 für alle x ∈ R.
|f(ξ)|
|ξ| ν+1
sup
|ξ|=r
|aν| ≤ 1
2π L(∂Ur(0))
M
2πr
rν+1 ≤ 1
2π
= M
.
rν 6.11. Folgerung
Sei f ∈ C[z] mit grad f = n ≥ 1. Dann existieren c, z1, . . . , zn ∈ C, so daß gilt:
Für r ≫ 0 folgt: aν = 0 für alle ν ≥ 1.
f(z) = c(z − z1) · . . . · (z − zn).
6.9. Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
z1, . . . , zn sind genau die Nullstellen von f.
Sei f ∈ C[z] und f nicht konstant. Dann gilt: f hat eine Nullstelle.
Beweis: Angenommen, für alle z ∈ C gilt: f(z) = 0. Daraus folgt: g : C → C, g(z) = 1
f(z) ist
holomorph.
Beh.: g ist beschränkt.
Bew.: Wähle r > 0 mit |z| ≥ r. Dann folgt nach dem Hilfssatz 6.10.: |f(z)| ≥ 1. Also: |g(z)| ≤ 1.
Weil g stetig ist, existiert ein M > 0, so daß aus |z| ≤ r folgt: |g(z)| ≤ M. Also ist g beschränkt.
Mit dem Satz von Liouville folgt: g ist konstant, und damit ist auch f konstant.
6.10. Hilfssatz
Sei f ∈ C[z] und f nicht konstant. Dann folgt: Für alle m ∈ N existiert ein r > 0, so daß aus |z| ≥ r
folgt: |f(z)| > m. Oder: lim |f(z)| = ∞.
|z|→∞
n
aνz ν mit an = 0 und n ≥ 1.
Beweis: f(z) =
ν=0
f(z)
− 1
anzn < ε.
. Sei |z| ≥ r. Dann folgt:
a) Beh.: Für alle ε > 0 existiert ein r > 0, so daß aus |z| ≥ r folgt:
und r := max 1, N
ε
n−1
aν
Bew.: Sei ε > 0. Definiere N :=
an
a0
+ . . . + − 1
anzn anzn
|a0| 1
+ . . . +
|an| |z| n
1
r
ν=0
anzn anz
− 1
n =
f(z)
anz
n + an−1z n−1
1
|z|
≤ |an−1|
|an|
|a0|
+ . . . +
|an|
1
r
r≥1
≤ |an−1|
|an|
= N
r
< ε.