Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

17. Biholomorphe Abbildungen 80
79 17. Biholomorphe Abbildungen
az + b
Sei nun g(z) =
cz + d .
1. Fall: c = 0. Ohne Einschränkung sei d = 1, also: g(z) = az + b. Betrachte nun die Fixpunktgleichung
g(z) = z für z = ∞. Daraus folgt: z = b
1−a , wenn a = 1. Dann gibt es zwei
Fixpunkte, nämlich ∞ und b
1−a . Für a = 1 und b = 0 gibt es nur einen Fixpunkt, nämlich
∞. Daraus folgt: a = 1 und b = 0, d.h. g = id.
2. Fall: c = 0. ∞ ist kein Fixpunkt, da g(∞) = a
c = ∞. Betrachte nun die Fixpunktgleichung
z = az+b
cz+d . Daraus folgt nach dem Auflösen die quadratische Gleichung
17.8. Bestimmung von Aut( C)
Sei Φ: GL(2, C) → Aut( C) 46
a b
mit
↦→ f und f(z) =
c d
az+d
cz+d . Durch Nachrechnen kann man sich
davon überzeigen, daß Φ ein Gruppenhomomorphismus ist. Satz 17.6. liefert, daß Φ surjektiv ist.
a 0
∗
Beh.: Ker Φ =
a ∈ C .
0 a
a b
a b
Bew.: Sei
∈ GL(2, C), daß f = Φ
= id
c d
c d
C . Für alle z ∈ C gilt dann:
cz 2 + (d − a)z − b = 0.
Diese Gleichung hat nur zwei Lösungen, obwohl es drei Fixpunkte gibt. Dies ergibt den
Widerspruch.
= z.
az + b
cz + d
Also folgt:
Ab jetzt sei D := U1(0) = {z ∈ C |z| < 1}.
az + b = z(cz + d)
= cz 2 + dz.
17.10. Schwarzsches Lemma
Sei f : D → D holomorph mit f(0) = 0. Dann gilt:
a) |f(z)| ≤ |z| für alle z ∈ D.
b) |f ′ (0)| ≤ 1.
c) Gibt es ein 0 = z0 ∈ D mit |f(z0)| = |z0| oder gilt |f ′ (0)| = 1, so gibt es ein λ ∈ R mit f(z) = eiλz für alle z ∈ D.
Durch Koeffizientenvergleich folgt nun: a = d und b = c = 0. Also gilt:
Aut( C) ∼
a 0
∗
= GL(2, C)
a ∈ C
0 a
∼= GL(2, C)/C ∗ .
Da Aut( C) von drei Parametern abhängt, ist Aut( C) dreidimensional.
Beweis: Sei g : D → D mit
z = 0,
f(z)
z
⎧
⎨
g(z) :=
f ′ (0) z = 0.
⎩
Also gilt: g ∈ O(D). Aus f(z) = ∞ j=1 ajz j folgt: g(z) = ∞ j=1 aj+1zj .
a) Sei r < 1 und |z| < r, dann folgt mit dem Maximumsprinzip:
17.9. Satz
Seien (z1, z2, z3), (w1, w2, w3) ∈ ( C) 3 mit zi = zj und wi = wj für i = j. Dann gibt es genau ein
f ∈ Aut( C), so daß für i = 1, 2, 3 gilt:
f(zi) = wi.
|g(z)| ≤ g∂Ur(0) = 1
r · f∂Ur(0) ≤ 1
r .
Insbesondere ist f durch die Angabe von drei Werten eindeutig bestimmt.
Beweis:
a) Existenz: Definiere
z2 − z3
,
z − z1
·
z − z3
w − w1
ϕ1(z) =
w2 − w3
z2 − z1
Für r → 1 folgt nun aus |z| ≤ 1: |g(z)| ≤ 1, also: |f(z)| ≤ |z|.
b) Aus a) folgt insbesondere: |g(0)| = |f ′ (0)| ≤ 1.
c) Gilt |f(z0)| = |z0| für ein z0 ∈ D \ {0} oder |f ′ (0)| = 1, so folgt: |g(z0)| = 1 oder |g(0)| = 1.
Aus dem Maximumsprinzip folgt: |g| = 1. Also gibt es ein λ ∈ R, so daß für alle z ∈ D gilt:
g(z) = eiλ . Also: f(z) = eiλz. .
·
w − w3
ϕ2(w) =
w2 − w1
Dann folgt:
ϕ1(z1) = ϕ2(w1) = 0,
ϕ1(z2) = ϕ2(w2) = 1,
ϕ1(z3) = ϕ2(w3) = ∞.
17.11. Satz
Sei f ∈ Aut(D). Dann gibt es ein λ ∈ [0, 2π) und ein z0 ∈ D, so daß für z ∈ D gilt:
ϕ1 bildet also z1, z2 und z3 auf 0, 1 und ∞ ab, analog ϕ2. Definiere nun f := ϕ −1
2 ◦ ϕ1. Dann
gilt: ϕ(zi) = wi.
z − z0
1 − z0z .
f(z) = e iλ ·
b) Eindeutigkeit: Seien f1, f2 ∈ Aut( C) mit f1(zi) = f2(zi) für i = 1, 2, 3. Definiere nun g := f −1
2 ◦f1.
Dann folgt: g(zi) = zi für i = 1, 2, 3. g ist also ein Automorphismus mit drei Fixpunkten. Wir
wollen nun zeigen: g = id, dann folgt nämlich: f1 = f2.
Jedes solche f ist tatsächlich ein Automorphismus.
Beweis:
a) f(z) ist ein Automorphismus: Es reicht zu zeigen, daß f(z) = z−z0
1−z0z ein Automorphismus ist, also
1
für λ = 0. Für z0 = 0 ist f : C \ → C \ − z0
1
biholomorph mit − z0
1
z0 ∈ C \ D. Für z0 gilt
der triviale Fall f(z) = z.
46 Die Menge
GL(n, K) = {A ∈ M(n × n, K) | A invertierbar}
mit der Multiplikation von Matrizen als Verknüpfung ist eine Gruppe mit neutralem Element En. Sie heißt allgemeine lineare
Gruppe ( general linear group“).
”