Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

7. Identitätssatz, Cauchysche Ungleichung und Maximumsprinzip 34
33 7. Identitätssatz, Cauchysche Ungleichung und Maximumsprinzip
holomorph auf Ur ′(z0). Wende nun Folgerung 7.5. für n = 0 an:
= |g(z0)|
1
f (z0)
b) Zu zeigen: f (k)
n → f (k) kompakt für alle k ≥ 1. Wir zeigen den Fall k = 1, der Rest folgt per
Induktion.
Sei z0 ∈ G und r > 0, so daß Ur(z0) ⊂ G. Dann folgt mit 7.4.:
≤ g ∂Ur(z0)
(z0) ≤ C
r · fn − f∂Ur(z0) → 0 (n → ∞).
f ′ n − f ′ U r 2
∂Ur(z0)
1
f
=
1
min
|z−z0|=r |f(z)|.
=
7.7. Satz
|f(z)|, was ein Widerspruch ist.
Also gilt: |f(z0)| ≥ min
|z−z0|=r
Sei G ⊂ C ein Gebiet und f ∈ O(G) mit f = const. Dann ist f(G) ⊂ C wieder ein Gebiet.
Beweis:
7.9. Anwendung
Sei G ⊂ C ein Gebiet, f ∈ O(G) und |f| = const. Dann gilt: f = const.
Beweis: Sei |f| = const = r. Dies ist äquivalent mit f(G) ⊂ ∂Ur(0). Mit Satz 7.7. folgt: f = const.
a) f(G) offen: Sei w0 ∈ f(G). Wir möchten im folgenden ein ε > 0 mit Uε(w0) ⊂ f(G) finden.
Wähle z0, so daß f(z0) = w0 und ein r > 0, so daß f −1 (w0) ∩ Ur(z0) = {z0}. 8 Dann existiert ein
ε > 0, so daß gilt:
|f(z) − w0| ≥ 3ε ∀ z ∈ ∂U r
2 (z0).
7.10. Satz (Maximumsprinzip)
Sei nun |w − w0| < ε. Für |z − z0| = r
2 gilt:
Sei G ⊂ C ein Gebiet, f ∈ O(G) und |f| habe in z0 ∈ G ein lokales Maximum. Dann ist f konstant.
Beweis: Sei U = Uε(z0), so daß |f| ein Maximum in z0 hat. Dann kann f(z0) kein innerer Punkt
U
von f(U) sein, weil für alle z ∈ U gilt: |f(z)| ≤ |f(z0)|. Mit Satz 7.7. folgt: f = const auf U. Der
Identitätssatz liefert schließlich f = const.
|f(z) − w| ≥ |f(z) − w0| − |w − w0|
≥ 3ε − ε
= 2ε.
Außerdem gilt:
7.11. Bemerkung
Sei G ⊂ C ein beschränktes Gebiet, d.h. G ist kompakt. Weiter sei f : G → C stetig, f|G ∈ O(G) und
f = const. Dann nimmt |f| das Maximum auf ∂G an.
Beweis: Da G kompakt und f stetig sind, hat |f| auf G ein Maximum. Mit Satz 7.10. hat |f| auf G
kein Maximum. Somit wird das Maximum auf dem Rand angenommen.
|f(z0) − w| = |w0 − w|
< ε.
7.12. Satz (Minimumsprinzip)
Insgesamt ergibt sich: |f(z0) − w| < |f(z) − w|.
b) f(G) zusammenhängend: f(G) ⊂ R2 ist offen, also reicht es zu zeigen: f(G) ist wegzusammenhängend.
Seien w1, w2 ∈ f(G). Wähle z1, z2 ∈ G mit f(z1) = w1 und f(z2) = w2. Wähle einen Weg
γ : [0, 1] → G mit γ(0) = z1 und γ(1) = z2. Dann ist f ◦ γ : [0, 1] → f(G) wieder ein Weg, und
zwar mit (f ◦ γ)(0) = w1 und (f ◦ γ)(1) = w2.
Sei G ⊂ C ein Gebiet, f ∈ O(G) und |f| habe in z0 ein lokales Minimum. Dann ist f konstant oder
f(z0) = 0.
Beweis: Sei f(z0) = 0. Sei U = Uε(z0), so daß |f| in z0 ein Minimum hat. Ohne Einschränkung
gelte, daß f|U keine Nullstelle habe. Dann gilt: g := 1
f ∈ O(U). Da |g| in z0 ein Maximum hat, gilt
mit Satz 7.10.: g = const. Also ist auch f|U konstant und mit dem Identitätssatz auch ganz f.
7.8. Hilfssatz
Sei U ⊂ C offen, f ∈ O(U), z0 ∈ U, r > 0 und Ur(z0) ⊂ U. Ist |f(z0)| < min
|z−z0|=r |f(z)|, dann hat f| Ur(z0)
eine Nullstelle.
7.13. Bemerkung
Sei G ⊂ C ein beschränktes Gebiet, f : G → C stetig und f|G ∈ O(G). Dann hat f eine Nullstelle in G
oder |f| nimmt das Minimum auf ∂G an, also |f(z)| > min |f(ξ)| mit z ∈ G. (Verallgemeinerung von
ξ∈∂G
Hilfssatz 7.8.)
|f(z)|, dann
Beweis: Es reicht zu zeigen: f| Ur(z0) hat eine Nullstelle, denn wenn |f(z0)| < min
|z−z0|=r
folgt: |f(z0)| < min
|z−z0|=r+ε |f(z)|.
Angenommen, f| Ur(z0) hat keine Nullstelle, dann existiert ein r ′ > r, so daß f| Ur ′ (z0) keine Nullstelle
hat. 9
f| Ur(z0) hat keine Nullstellen, also existiert ein r ′ > r, so daß f| Ur(z0) keine Nullstellen hat. Für alle
z ∈ Ur(z0) existieren Umgebungen U(z0) ohne Nullstellen. Da Ur(z0) kompakt ist, existieren z1, . . . ,
n
zn mit Ur(z0) ⊂ U(zi). Wähle nun ein r ′ > r, so daß Ur ′(z0)
n
⊂ U(zi). Die Funktion g := 1
f ist
i=1
i=1
8 f −1 hat keinen Häufungspunkt in G, denn ansonsten wäre f konstant auf einer Menge mit einem Häufungspunkt, also
|f(z)|. Aus |f(z0)| < h(r) folgt: Es existiert ein ε > 0 mit h(r + ε) > |f(z0)|.
konstant nach dem Identitätssatz.
9Definiere die stetige Funktion h: r ↦→ min
|z−z0|=r