Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

15. Der Satz von Mittag-Leffler 64
63 14. Der Satz von Rouché
15. Der Satz von Mittag-Leffler
14.8. Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
Wir stehen vor folgendem Problem: Sei G ⊂ C offen und D ⊂ G diskret. In jedem zν ∈ D sei der
Hauptteil
hν = c(ν) − nν
(z − zν) nν + c(ν) − nν + 1
(z − zν) nν−1 + . . . + c(ν) − 1
z − zν
vorgegeben. Gibt es nun ein f ∈ M(G), so daß der Hauptteil der Laurentreihenentwicklung um zν genau
Sei f ∈ C[z] und f nicht konstant. Dann gilt: f hat eine Nullstelle.
Beweis: Definiere
f(z) = z n + an−1z n−1 + . . . + a1z + a0,
g(z) = z n .
hν ist? Dazu folgende Bemerkungen:
Ist r ≫ 0, so gilt für |z| = r:
a) Wenn D endlich ist, ist das Problem trivial. Schreibe D als D = {z1, . . . , zm} und setze f als
f = h1 + . . . + hm. Wenn D nun unendlich ist, konvergiert dann f := ∞ ν=1 hν?
b) Wir beschränken uns auf den Fall G = C.
|f(z) − g(z)| = |an−1z n−1 + . . . + a0|
= |g(z)|
= |z| n .
15.1. Definition
Sei G ⊂ C ein Gebiet und D = {zν | ν ∈ I} diskret, wobei I endlich oder abzählbar ist. Eine Mittag-
Leffler-Verteilung oder Hauptteilverteilung M auf G ist eine Menge
Mit dem Satz von Rouché folgt für alle r ≫ 0: N(0, f| Ur(0)) = n. Daraus folgt die Behauptung.
{hν | ν ∈ I, hν Hauptteil in zν}.
Eine Lösung von M ist f ∈ M(G) mit f| G\D holomorph, so daß die Laurentreihenentwicklung von f um
zν genau den Hauptteil hν hat.
Bemerkung
a) Zur Notation: Ohne Einschränkung sei 0 ∈ D, gegebenenfalls setze h0 = 0. Numeriere D nun so,
daß 0 = |z0| ≤ |z1| ≤ . . ., also: D = {zν | ν ∈ N0}.
∞
(hν(z) − Pν(z)),
b) Ein Ansatz zur Lösung ist
f(z) = h0(z) +
ν=1
wobei Pν(z) ein Polynom ist. Die auftretenden Konvergenzprobleme soll Pν(z) lösen.
15.2. Satz
a) Sei M eine Mittag-Leffler-Verteilung auf G mit Lösungen f, g ∈ O(G). Dann ist f − g ∈ O(G).
b) Ist f ∈ M(G) eine Lösung von M und h ∈ O(G), so ist f + h ebenfalls eine Lösung.
Beweis:
a) Sei (f − g)| G\D ∈ O(G \ D). f und g haben in zν ∈ D die gleichen Hauptteile. Dann hat f − g
als Hauptteil 0. Somit ist zν eine hebbare Singularität von f − g. Also gilt: f − g ∈ O(G).
b) Klar.
15.3. Definition
Sei U ⊂ C offen, ν ∈ N und fν ∈ M(U). ∞ ν=1 fν heißt genau dann kompakt konvergent, wenn für alle
kompakten K ⊂ U ein ν0 existiert, so daß für alle ν ≥ ν0 gilt: fν sind holomorph in einer Umgebung von
K und
ν≥ν0 fν|K konvergiert gleichmäßig.
Bemerkung
Sei P (fν) = Dν und D = ∞ ν=1 Dν diskret. Weiter sei U(K) ∩ D endlich, etwa U(K) ⊂ {z1, . . . , zν0−1}.
Verlange nun: fν0 , fν0+1, . . . sind holomorph in U(K). Dort macht
ν≥ν0 fν Sinn.