Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

13. Der Residuensatz 60
59 13. Der Residuensatz
13.14. Beispiel
π
sin(πα) .
∞
dx =
xα−1 x + 1
Für 0 < α < 1 gilt:
0
Vorbemerkung
Sei z ∈ C \ [0, ∞), z = reiϕ , r > 0 und ϕ ∈ (0, 2π). Definiere
lg : C \ [0, ∞) → C, lg z := log r + iϕ.
. Dann ergibt sich:
z(z+1)
Beweis: Sei R(z) = 1
∞
∞
lg ist holomorph. Definiere weiterhin gα(z) := e α lg z . 28 Dann gilt:
x α R(x) dx.
dx =
xα−1 x + 1
lg(re iϕ ),
lg(x + iy) = log x = lim
ϕ→0
lim
y→0
0
0
Die Pole sind 0 und −1. Es gilt: res−1(zαR(z)) = −eπia . Somit ergibt sich die Behauptung.
ϕ>0
y>0
lg(re iϕ ).
lg(x + iy) = log x + 2πi = lim
ϕ→2π
ϕ 0, so daß für |z| nahe 0 gilt:
|R(z)| ≤ C′
|z| . Also gilt:
W2
W3 die Strecke von s + i π
2 nach −r + i π
2 und
W4 die Strecke von −r + i π
2 nach −r.
Q sei der von W1 bis W4 umschlossene Quader. Es gibt genau eine Singularität im Inneren von Q,
, und keine auf dem Rand. Es gilt:
nämlich a
2
C′
≤ 2πϱ ·
ϱ1 − α
→ 0. (ϱ → 0)
gα(z)R(z) dz
W4
i
g(z) = −
2 √ π .
res a
2
r
c) Es gilt:
Mit Hilfe des Residuensatzes und Aufgabe 1 auf Blatt 8 folgt:
x α R(x) dx.
gα(z)R(z) dz =
lim
ε→0
g(z) dz = 2πi · res a
2 g(z)
ϱ
W1
∂Q
r
Analog erhält man:
= √ π,
x α R(x) dx.
gα(z)R(z) dz = −e 2πiα
lim
ε→0
√ π −r+i 2
√ π s+i 2
√ π s+i 2
s
ϱ
W3
g(z) dz
g(z) dz −
−
g(z) dz +
g(z) dz =
d) Insgesamt ergibt sich:
−r
→0 (r,s→∞)
−r+i √ π
2
g(z) dz
s
−r
∂Q
1 − e 2πiα .
∞
→0 (r,s→∞)
x α R(x) dx
gα(z)R(z) dz =
lim r→∞
∞
0
W (r,ε,ϱ)
ε,ϱ→0
dz. (r, s → ∞)
e −z2
(∗)
=
Somit ergibt sich die Behauptung.
−∞
Daraus folgt die Behauptung.
28Also: gα(z) =“ z
” α .
29z ∈ G ⇒ ∃ r0, ε0, ϱ0 ∀ r ≥ r0 ∀ε ≤ ε0 ∀ ϱ ≤ ϱ0 : z ∈ I(W(r,ε,ϱ)).