Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

8. Cauchysche Integralformel und Cauchyscher Integralsatz 38
37 8. Cauchysche Integralformel und Cauchyscher Integralsatz
Für z ∈ D \ {z0} sind beide Definitionen gleich, also ist g wohldefiniert und g ∈ O(B). Mit der
Cauchyschen Integralformel gilt:
1 g(ξ)
n(z0, K)g(z0) =
dξ
2πi K ξ − z0
1 f(ξ) 1 s−1
=
dξ − aν(ξ − z0)
2πi K (ξ − z0) s+1 2πi
ν=0 K
ν−s−1 dξ
1 f(ξ)
=
dξ,
2πi K (ξ − z0) s+1
ii) Zeige: F2 ∈ O(C). Sei D ⊂ A(K) ein Kreis und Q ⊂ D ein achsenparalleles Rechteck. Es
gilt:
f(ξ)
F2(z) dz =
dξ dz
∂Q
∂Q K ξ − z
Fubini f(ξ)
=
dz dξ
K ∂Q ξ − z
dz
= f(ξ)
K ∂Q ξ − z dξ
= f(ξ) · 0 dξ
weil ξ ↦→ aν(ξ − z0) ν−s−1 eine Stammfunktion hat und somit das rechte Integral 0 ergibt. Weiterhin
gilt:
K
= 0.
.
n(z0, K)g(z0) = n(z0, K)h(z0)
= n(z0, K)as
= n(z0, K) f (s) (z0)
s!
Somit ergibt sich die Behauptung.
Also ist auch F2 holomorph.
d) Zeige: G ist beschränkt. Nach Hilfssatz 8.1. existiert ein r > 0, so daß |K| ⊂ Ur(0) und G
beschränkt ist auf C \ Ur(0), denn lim
|z|→∞ F2(z) = 0. Auf Ur(0) ist G sowieso beschränkt (da G
stetig ist), also ist G beschränkt.
e) Nach dem Satz von Liouville gilt: G = c ∈ C. Zeige nun: c = 0. Wenn |z| ≫ 0, so gilt:
i) G(z) = F2(z),
ii) lim
|z|→∞ F2(z) = 0.
Insgesamt ergibt sich: c = 0.
8.4. Cauchyscher Integralsatz
f(z) dz = 0.
Sei B ⊂ C offen, f ∈ O(B) und K eine geschlossene Kette in B mit I(K) ⊂ B. Dann gilt:
K
Beweis: Sei z0 ∈ B \ |K|, g : B → C mit g(z) = (z − z0)f(z). g ∈ O(B). Mit Satz 8.3. gilt:
1 g(ξ)
n(n0, K)g(z0) =
dξ
2πi K ξ − z0
1
= f(ξ) dξ.
2πi K
Mit g(z0) = 0 ergibt sich die Behauptung.
8.5. Definition
Eine geschlossene Kette K in B mit I(K) ⊂ B heißt nullhomolog in B. Zwei geschlossene Ketten K1
und K2 (mit gleichen Anfangs- und Endpunkten) in B heißen homolog, wenn K2 − K1 nullhomolog ist.
8.6. Satz (Cauchysche Integralformel für Ableitungen)
Sei B ⊂ C offen, f ∈ O(B) und K eine geschlossene Kette in B mit I(K) ⊂ B. Dann gilt:
n(z, K)f (s) (z) = s!
f(ξ)
dξ.
2πi K (ξ − z) s+1
∞
Beweis: Sei z0 ∈ B \ |K| und D := Ur(z0) ⊂ B. Auf D sei f(z) = aν(z − z0) ν . Weiter sei
ν=0
∞
aν(z − z0) ν−s . Definiere die Funktion
h(z) :=
ν=s
h(z) z ∈ D
s−1
f(z)− aν(z − z0) ν
z ∈ B \ {z0}
⎧
⎪⎨
.
g : B → C, g(z) =
ν=0
(z−z0) s
⎪⎩