Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

2. Wegintegrale 12
11 2. Wegintegrale
b) Sei Q = [a, b] × [c, d] ⊂ R 2 = C ein Quader. Folgende Wege seien definiert:
2.5. Satz
Weg W1 : ϕ1 : [a, b] → C, ϕ1(t) = t + ic,
Weg W2 : ϕ2 : [c, d] → C, ϕ2(t) = b + it,
Weg W3 : ϕ3 : [a, b] → C, ϕ3(t) = a + b − t + id,
Weg W4 : ϕ4 : [c, d] → C, ϕ4(t) = a + i(c + d − t).
f2 dz.
f1 dz +
W
W
(f1 + f2) dz =
αf dz = α
W
4
f dz mit α ∈ C.
Es gilt:
a)
b)
Wj. Man schreibt auch: ∂Q = {W1, W2, W3, W4}.
Dann gilt für den Rand des Quaders: ∂Q =
W
W
j=1
Beweis: Trivial.
2.10. Definition
Eine Kette K ist eine Menge {W1, . . . , Wn} von Wegen. K ist geschlossen, wenn jedes c ∈ C genauso oft
n
als Anfangspunkt wie als Endpunkt eines Weges auftaucht. Ist f : |Wj| → C stetig, so setze
2.6. Definition
Sei ϕ: I → C ein stetig differenzierbarer Weg mit ϕ = ϕ1 + iϕ2. Die Länge L(W ) des Weges W ist
definiert als
j=1
b
n
|ϕ ′ (t)| dt
L(W ) :=
f dz.
f dz :=
ϕ ′ 1 (t)2 + ϕ ′ 2 (t)2 dt.
a
b
Wj
j=1
K
=
a
2.11. Definition
Seien I = [a, b] und J = [c, d] Intervalle.
a) Eine Parametertransformation ψ : J → I ist eine stetig differenzierbare, streng monoton wachsende
Funktion.
b) Seien W1 und W2 Wege, gegeben durch ϕ1 : I → C und ϕ2 : J → C. W2 geht genau dann aus W1
durch eine Parametertransformation hervor, wenn eine Parametertransformation ψ : J → I existiert,
so daß gilt: ϕ2 = ϕ1 ◦ ψ. (Das bedeutet: |W1| = |W2|.)
2.7. Satz
Der Weg W habe die Länge L(W ). f : |W | → C sei stetig. Es gelte |f(z)| ≤ r für alle z ∈ |W |. Dann
gilt:
f dz
≤ r · L(W ).
W
Beweis: Es gilt:
(f ◦ ϕ) · ϕ ′
(t) dt
b
2.12. Satz
In der Situation von Definition 2.11. b) gilt für stetige f : |W1| → C:
f dz = f dz.
Def.
=
f dz
a
W
b
|f(ϕ(t))| · |ϕ ′ (t)| dt
2.3. c)
≤
b
a
W2
W1
Beweis: Es gilt:
|ϕ ′ (t)| dt
≤ r ·
b
a
(f ◦ ϕ1)ϕ ′ 1 dt
f dz =
= r · L(W ).
a
d
(f ◦ ϕ1 ◦ ψ)(ϕ
c
′ 1 ◦ ψ)ψ ′ dt
d
W1
Substitutionsregel
=
(f ◦ ϕ2)ϕ ′ 2 dt
Kettenregel
=
c
2.8. Satz
Sei ϕ: I → C ein Weg W , Z = (t0, . . . , tn) eine Zerlegung von I und f : |W | → C stetig. Weiter sei Wj
der Weg ϕ| [tj−1,tj]. Dann gilt:
n
f dz = f dz.
f dz.
=
Wj
j=1
W
W2
Bemerkungen
f dz.
f dz = −
a) Im Falle W2 = −W1 gilt:
W1
−W1
b) Aus Satz 2.12. ergibt sich auch: L(W1) = L(W2).
Beweis: Es gilt:
b
|ϕ ′ 1(t)| dt
L(W1) =
a
d
Beweis: Klar mit Satz 2.3. d).
2.9. Beispiele
a) Sei z0 ∈ C und r > 0. W sei folgender Weg: ϕ: [0, 2π] → C mit ϕ(z) = z0 + reit . W ist einfach
geschlossen. Sei f : |W | → C mit f(z) = 1 stetig. Dann gilt:
z−z0
dz
f dz =
W
W z − z0
2π
1
=
reit ireit dt
0
2π
= |ϕ
c
′ 2(t)| dt
= L(W2).
dt
= i
0
= 2πi.