Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

16. Der Weierstraßsche Produktsatz 72
71 16. Der Weierstraßsche Produktsatz
16.3. Hilfssatz
16. Der Weierstraßsche Produktsatz
∞
log(1 + uν) konvergiert genau dann absolut,
Sei (uν) eine Folge in C mit 1 + uν /∈ (−∞, 0]. Dann gilt:
ν=1
∞
uν absolut konvergiert.
wenn
Sei U ⊂ C offen, (aν) eine Folge in U ohne Häufungspunkt in U und nν ∈ N. Wir stellen uns nun die
Frage: Gibt es eine Funktion f ∈ O(U), so daß gilt: f(aν) = 0 mit Nullstellenordnung nν, ansonsten
ohne Nullstellen? Ist (aν) endlich, so gilt dann: f(z) = n ν=1 (z − aν) nν . Im Allgemeinen ist das Produkt
jedoch unendlich.
ν=1
Beweis: Für |u| ≤ 1
4 gilt:
16.1. Definition
∞
|u|. (∗)
a)
|u| ≤ | log(1 + u)| b)
≤ 4
3
2
3
aν heißt konvergent, wenn gilt:
Sei (aν) eine Folge in C. Das Produkt
Die Behauptung folgt dann mit dem Cauchykriterium. Wir zeigen nun die beiden Ungleichungen:
a) Verwende die Dreiecks-Ungleichung: |a + b| ≥ |a| − |b| ∞
u
mit a = u und b =
ν
. Führe nun
ν
ν=1
ν=1
a) Nur endlich viele aν sind 0.
∞
b) Der Grenzwert lim aν ist endlich und ungleich 0.
n→∞
die gleiche Abschätzung wie in b) durch.
b) Es gilt:
ν=1
aν =0
n
∞
∞
uν ν
∞
aν.
aν = lim
ν→∞
aν = 0. Sind alle aν = 0, so setze
Gilt aν = 0 für mindestens ein aν, so setze
| log(1 + u)| =
ν=1
ν=1
ν=1
ν
1
4
ν=1
∞
≤ |u| ·
ν=0
Bemerkung
∞
Ist aν konvergent, so folgt: lim
ν→∞ aν = 1. Denn es gilt für alle n ≥ n0:
= 4
3 |u|.
ν=1
n
=
< ε.
n
n+1
· |an − 1|
aν
aν
aν −
16.4. Hilfssatz
ν=1
aν =0
ν=1
aν =0
ν=1
aν =0
∞
∞
uν absolut konvergiert.
(1 + uν) heißt absolut konvergent, wenn
Das Produkt
ν=1
ν=1
Also: an → 1 für n → ∞.
∞
16.2. Hilfssatz
∞
∞
(1 + uν) konvergiert.
Bemerkung
∞
Sei (1 + uν) absolut konvergent. Mit den Hilfssätzen 16.2. und 16.3. folgt:
(1+uν). 36
log(1+uν), so konvergiert auch
Sei (uν) eine Folge in C mit 1+uν /∈ (−∞, 0]. Konvergiert
ν=1
ν=1
ν=1
ν=1
16.5. Definition
Beweis: Es gilt:
n
n
Sei U ⊂ C offen und fν : U → C mit ν ∈ N.
exp(log(1 + uν))
(1 + uν) = lim
n→∞
lim
n→∞
∞
∞
n
ν=1
ν=1
(1 + fν(z)).
(1 + fν) heißt punktweise konvergent gegen f, wenn für alle z ∈ U gilt: f(z) =
a)
ν=1
ν=1
∞
∞
log(1 + uν)
ν=1
= lim
n→∞ exp
(1 + fν) kompakt bzw. absolut konver-
fν kompakt bzw. absolut konvergiert, so heißt
b) Wenn
n
ν=1
ν=1
log(1 + uν)
lim
n→∞
= exp
gent.
ν=1
∞
log(1 + uν)
Vor.
= exp
16.6. Hilfssatz
∞
(1 + fν) konvergiert genau dann absolut und kompakt auf U, wenn für alle kompakten K ⊂ U ein ν0
ν=1
= 0.
ν=1
log(1 + fν) K absolut gleichmäßig konvergiert.
existiert, so daß
ν≥ν0
Beweis: Per Definition konvergiert ∞ ν=1 (1 + fν) genau dann kompakt und absolut, wenn ∞ ν=1 fν
kompakt und absolut konvergiert. Wir haben nun zu zeigen, daß dies äquivalent dazu ist, daß
∞
ν=1 log(1 + fν) kompakt und absolut konvergiert.
36 ∞
Allgemein kann zu jedem ν ein Zweig lg des Logarithmus so gewählt werden, daß gilt: Aus der Konvergenz von ν=1 lg(1+
uν) folgt die Konvergenz von ∞ ν=1 (1 + uν).