Analysis IV (Funktionentheorie) Inhaltsv erzeichnis

19. Der Riemannsche Abbildungssatz 92
91 19. Der Riemannsche Abbildungssatz
19.13. Definition
Seien γ1, γ2 : I → X zwei Wege mit γ1(1) = γ2(0). Als Produkt γ1 · γ2 : I → X definiert man
γ1(2t) 0 ≤ t ≤ 1
2 ,
Es gilt: 0 ∈ |γi|. 0 soll außerdem der Anfangs- und Endpunkt jedes Weges sein. Definiere nun
γ := γ4 − γ3 − γ2 + γ1.
γ ist nullhomolog, denn es gilt:
γ1 · γ2(t) :=
≤ t ≤ 1.
1
γ2(2t − 1) 2
I(γ) = (U2(−2) \ U1(−1)) ∪ (U2(2) \ U1(1)) ⊂ G.
γ ist jedoch nicht nullhomotop. Dies ist anschaulich klar, da −1, 1 /∈ G.
19.14. Hilfssatz
a) Es gelte: γ1 ∼ γ ′ 1 und γ2 ∼ γ ′ 2. Dann gilt: γ1 · γ2 ∼ γ ′ 1 · γ ′ 2. Insbesondere ist das Produkt auf
Π1(X, x0) definiert und es gilt: [γ1] · [γ2] := [γ1 · γ2].
19.9. Definition
Sei X ein wegzusammenhängender topologischer Raum. X heißt einfach zusammenhängend, wenn jeder
geschlossene Weg nullhomotop ist.
b) Assoziativität: (γ1 · γ2) · γ3 ∼ γ1 · (γ2 · γ3).
c) Sei εx der konstante Weg von x nach x. Dann gilt: εx · γ ∼ γ · εx ∼ γ.
d) γ · (−γ) ∼ εx, wobei γ(0) = x.
Beweis: Siehe [2].
Bemerkung
Sei G ⊂ Rn sternförmig. Dann ist G einfach zusammenhängend.
Beweis: G sei sternförmig bezüglich x0. γ sei ein geschlossener Weg in G. Definiere nun Ψ: I×I → G,
Ψ(s, t) := (1 − s)γ(t) + sx0. Ψ ist stetig. Weil G sternförmig bezüglich x0 ist, gilt Ψ(I × I) ⊂ G. Es
ist Ψ(0, t) = γ(t) und Ψ(1, t) = x0. Weiterhin gilt:
19.15. Bemerkung
Damit wird Π1(X) zu einer Gruppe. Diese Gruppe kann sehr kompliziert sein und ist meistens nichtabelsch.
Ψ(s, 0) = (1 − s)γ(0) + sx0
= (1 − s)γ(1) + sx0
= Ψ(s, 1).
19.16. Definition
Sei G ⊂ C ein Gebiet.
a) Definiere Z(G) := {γ = a1γ1 + . . . + anγn | n ∈ N, aj ∈ Z, γj geschlossene Wege}. Dies ist die freie
”
abelsche Gruppe mit den geschlossenen Wegen als Basis“.
b) γ ∈ Z(G) heißt nullhomolog, wenn für alle f ∈ O(G) gilt:
f dz = γ i ai
f dz = 0.
γi
c) H1(G) := Z(G)/B(G) heißt 1. Homologiegruppe von G (mit Werten in Z).
19.10. Folgerung
Sei G ⊂ C ein Gebiet.
a) G ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn G homologisch einfach zusammenhängend ist.
b) Sei G einfach zusammenhängend. Dann gilt G = C oder G ist biholomorph zum Einheitskreis D.
19.17. Bemerkung
Die algebraische Topologie ordnet jedem topologischen Raum X die 1. Homologiegruppe bzw. höhere
Homologiegruppen Hi(X) zu.
Beweis: Da G einfach zusammenhängend ist, ist nach Folgerung 19.7. G homologisch einfach zusammenhängend.
Nach dem Riemannschen Abbildungssatz gilt dann G = C oder G ist biholomorph
zum Einheitskreis D. Weil C und D einfach zusammenhängend sind, gilt: Aus G homologisch zusammenhängend
folgt: G ist einfach zusammenhängend.
19.18. Bemerkung
Sei ϕ: G → G ′ holomorph. Dies impliziert eine Abbildung ϕ∗ : Z(G) → Z(G ′ ), γ =
i aiγi ↦→
i ai(ϕ ◦
γi). Sei γ ∈ B(G). Dann gilt für alle f ∈ O(G):
Bemerkung
Seien G, G ′ homöomorph. Sei G einfach zusammenhängend. Dann ist auch G ′ einfach zusammenhängend.
γ f dz = 0. Wir wollen zeigen: ϕ∗(γ) ∈ B(G ′ ).
19.11. Definition
γ (g ◦ ϕ) dz. Dies impliziert: ϕ∗ : H1(G) → H1(G ′ ) mit ϕ∗([γ]) =
[ϕ∗(γ)]. Ist Ψ: G ′ → G ′′ holomorph, so gilt: (Ψ ◦ ϕ)∗ = Ψ∗ ◦ ϕ∗ und (id)∗ = idH1(G). Für alle g ∈ O(G ′ ) gilt:
ϕ∗(γ) g dz′ =
Sei X ein topologischer Raum.
Insbesondere gilt: Aus ϕ: G → G ′ biholomorph folgt:
a) Sei x0 ∈ X. Π1(X, x0) heißt 1. Fundamentalgruppe von X mit Basispunkt x0:
id H1(G) = (id)∗ = (ϕ ◦ ϕ −1 )∗ = ϕ∗ ◦ (ϕ −1 )∗.
Π1(X, x0) := {geschlossene Wege von x0 nach x0}/ ∼ .
Analog: (ϕ−1 )∗◦ϕ∗ = idH1(G). Also ist ϕ∗ : H1(G) → H1(G ′ ) ein (Gruppen-)Isomorphismus mit (ϕ∗) −1 =
(ϕ−1 )∗.
Also: Biholomorphe (tatsächlich schon homöomorphe) Gebiete haben isomorphe Homologiegruppen.
Dabei gilt γ1 ∼ γ2, wenn γ1, γ2 homotop bei festen Endpunkten x0 sind. 61
b) Sei X wegzusammenhängend. Dann ist Π1(X, x0) unabhängig von x0. Dann heißt Π1(X) :=
Π1(X, x0) Fundamentalgruppe von X.
19.12. Bemerkung
X ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn gilt: Π1(X) = 0.
61 Man kann leicht zeigen, daß ∼ eine Äquivalenzrelation ist.