Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

einer analytischen Funktion aufgefasst wird. Jedoch ist die Abhängigkeit
der beiden Resultate von den externen Skalen, d.h. Massen und Impulsen,
identisch, denn diese sind in ∆ enthalten.
γ-Matrizen in der dimensionalen Regularisierung: Für Fermionen treten
in Schleifenintegralen in der Regel γ-Matrizen auf. Deshalb wollen wir nun
klären, wie γ-Matrizen in d Dimensionen zu verstehen sind. Zunächst halten
wir fest, dass
{γ µ ,γ ν } = 2g µν (5.35)
als definierende Eigenschaft erhalten bleibt. Formal laufen die Indizes in
einem d-dimensionalen Raum von 1 bis d, so dass
γ µ γ µ = δ µ µ = d, (5.36)
γ µ γ ν γ µ = γ µ {γ ν ,γ µ } − γ µ γ µ γ ν = (2 − d)γ ν , (5.37)
usw. γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 und ε µνρσ sind intrinsisch vierdimensional und lassen
sich nicht natürlich auf d Dimensionen erweitern. Die Behandlung von γ 5
in der dimensionalen Regularisierung bedarf besonderer Sorgfalt. Auf diesen
Punkt gehen wir hier nicht ein (→ chirale Anomalie).
Feynman-Parameter
Eine nützliche Formel zur Berechnung von Schleifenintegralen mit mehreren
Propagatoren ist
1
P a 1
1 P a 2
2
...P
an
n
= Γ(a 1 + ... + a n )
Γ(a 1 )...Γ(a n )
×
∫ 1
0
dx 1 ... dx n δ(1 − x 1 − ... − x n )
x a 1−1
1 ...x an−1
n
(x 1 P 1 + ... + x n P n ) a 1+...+a n
, (5.38)
wobei man die x i als Feynman-Parameter bezeichnet. Mit dieser Formel
gelingt es in Schleifenintegralen, Produkte von Propagatornennern P i in eine
Summe umzuschreiben. (5.38) gilt für beliebige komplexe a i .
Die wichtigsten Spezialfälle sind
1
A a B b =
Γ(a + b)
Γ(a)Γ(b)
∫ 1
0
xa−1¯x b−1
dx
, (5.39)
a+b
(xA + ¯xB)
1 Γ(a + b + c)
A a B b =
Cc Γ(a)Γ(b)Γ(c)
mit ¯x ≡ 1 − x und ȳ ≡ 1 − y.
∫ 1
0
dxdy
x(xy) a−1 (xȳ)
b−1¯x
c−1
, (5.40)
a+b+c
(xyA + xȳB + ¯xC)
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