Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

führt zu weiteren Wechselwirkungsvertices. Der Propagator ist demnach gegeben
durch
i
p 2 − M 2 + iε , (5.72)
mit der physikalischen Masse M, statt wie bisher M 0 . Bei den aus der
Lagrange-Dichte (5.71) berechneten Green-Funktionen handelt es sich direkt
um renormierte Green-Funktionen, ausgedrückt durch M,λ.
Die Gegenterme δ Z ≡ Z−1, δ M ≡ (Z−1)M 2 +ZδM 2 , δ λ ≡ Z λ Z 2 −1 müssen
dabei Ordnung für Ordnung aus drei geeigneten Renormierungsbedingungen
bestimmt werden. Wie zuvor wählen wir die on-shell-Bedingungen, d.h. wir
betrachten zunächst die renormierte Zwei-Punkt-Funktion und verlangen
=
i
p 2 − M 2 − Π(p 2 ,M 2 )
p 2 →M 2
−→
i
p 2 − M 2 . (5.73)
Diese Forderung ist konsistent mit den Überlegungen zu Beginn diese Kapitels,
bei denen wir festgestellt haben, dass das Residuum der (on-shell)
renormierten Zwei-Punkt-Funktion bei p 2 = M 2 gerade 1 ist. Aus (5.73)
folgt dann, dass die renormierte Selbstenergie Π(p 2 ,M 2 ) folgenden Bedingungen
genügen muss:
Π(p 2 ,M 2 )| p 2 =M2 = 0, (5.74)
dΠ
dp 2 ∣
∣p 2 =M 2 = 0. (5.75)
Diese Bedingungen legen δ M und δ Z fest. Zusätzlich benötigt man eine Renormierungsbedingung
für die Kopplung. Beispielsweise fordert man für die
renormierte Vier-Punkt-Funktion:
q 2
p 2
q 1
∣
∣∣∣amputiert
= −iλ (2π) 2 δ (4) (q 1 + q 2 − p 1 − p 2 ). (5.76)
p 1
s = 4M 2 , t = u = 0
Analog zu Kap. 5.1.1 wollen wir nun die Selbstenergie Π(p 2 ,M 2 ) in der Ordnung
λ der φ 4 -Theorie berechnen. Neben dem bereits bekannten Diagramm
ist in der renormierten Störungstheorie ein Gegentermvertex zu berücksichtigen,
so dass
−iΠ = +
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