Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

+ ¯ψ 0 (i̸∂ − m 0 )ψ 0 + e 0 ¯ψ0 γ µ ψ 0 A 0µ (5.4)
Der Index “0” dient der Unterscheidung der “nackten” bzw. “unrenormierten”
Größen von den später einzuführenden renormierten Größen.
5.1.1 Beispiel: Selbstenergie in der φ 4 -Theorie
Bei der Selbstenergie Π(p 2 ,M 2 ) handelt es sich um die Einteilchen-irreduziblen
Anteile der Zwei-Punkt-Funktion, wobei die äußeren Propagatoren
amputiert werden, d.h.
−iΠ(p 2 ,M 2 0) =
1PI
= + + + O(λ 3 0)
= − iλ 0
2
∫
d 4 k
(2π) 4
i
k 2 − M 2 0 + iε + O(λ2 0 ) (5.5)
Der Faktor 1/2 ergibt sich aus dem Symmetriefaktor für das erste Diagramm
der zweiten Zeile. Dieses Schleifenintegral kann berechnet werden, indem
man zunächst die k 0 -Integration mit Hilfe des Residuensatzes ausführt und
anschließend die Integration über ⃗ k separat behandelt.
Im Folgenden führen wir ein Verfahren zur Berechnung von Schleifenintegralen
ein, die sog. Wick-Rotation, welches sich als günstiger erweist, da es alle
Komponenten des Vierervektors k µ in gleicher Weise behandelt und somit
die relativistische Invarianz erhält. Im Wesentlichen handelt es sich dabei
um eine Rotation der Integrationskontur.
Das Integral (5.5) hat Pole in k 0 bei
k 0 2
= ⃗ k 2 + M 2 0 − iε. (5.6)
Da der Integrand im Unendlichen schnell genug abfällt, kann die Integrationskontur
in der komplexen k 0 -Ebene beliebig deformiert werden, so lange
man dabei keine Pole überschreitet. Insbesondere können wir den Integrationsweg
entlang der imaginären Achse wählen, d.h.
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