Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Der erste Schritt besteht darin, das Produkt der Propagatoren mit Hilfe von
(5.39) in eine Summe umzuschreiben, d.h.
˜µ 4−d ∫ d d k
(2π) d 1
(
k 2 − M 2 0 + iε) ( (P + k) 2 − M 2 0 + iε)
= ˜µ 4−d ∫ 1
0
∫ d d k
1
dx
(2π) d (
xk 2 + ¯x(P + k) 2 − M0 2 + iε) 2 . (5.50)
Nun nehmen wir im Nenner des Integranden zunächst eine quadratische
Ergänzung vor, so dass
k 2 + 2¯xP · k + ¯xP 2 − M 2 0 + iε = (k + ¯xP) 2 + x¯xP 2 − M 2 0 + iε (5.51)
und führen anschließend die Variablentransformation k → k ′ ≡ k + ¯xP
durch. An dieser Stelle verdeutlichen sich die Vorteile der dimensionalen
Regularisierung, denn im Gegensatz zur Cut-off-Regularisierung führt die
Variablentransformation nicht zu einer Verschiebung der Integrationsgrenzen.
Somit geht (5.50) in
∫ 1
0
dx ˜µ 4−d ∫ d d k
(2π) d 1
(
k 2 − [M 2 0 − x¯xP 2 − iε] ) 2
(5.52)
über. Dieses Integral ist von der From (5.33) mit ∆ = M0 2 − x¯xP 2 − iε, so
dass
( ∫
i 1 1
(5.49) =
(4π) 2 ǫ − dx ln M2 0 − x¯xP 2 )
− iε
0 µ 2 + O(ǫ)
( ∫
i 1 1
=
(4π) 2 ǫ − ln M2 0
µ 2 − dx ln
(1 − x¯x P 2 ) )
0
M0
2 − iε + O(ǫ)
( )
i 1
≡
(4π) 2 ǫ − ln M2 0
µ 2 − A(P 2 ) + O(ǫ) . (5.53)
Würde man zur Berechnung der Integrale statt der dimensionalen Regularisierung
die Cut-off-Regularisierung verwenden, so wäre das Resultat bis auf
die Ersetzung
1
ǫ − ln M2 0
µ 2 −→ − ln M2 0
Λ 2 − 1 (5.54)
identisch. Insbesondere ist zu beachten, dass die Abhängigkeit von den externen
Größen, d.h. den Impulsen P, in beiden Regularisierungsmethoden
gleich ist.
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