Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Aus Vergleich von (5.144) und (5.143) folgt dann für die Ladungsrenormierungskonstante:
Ze −1 = √ “ Γ
µ
0
Z 3 Z 2 ·
(p′ ,p)| p=p
”
′
γ µ . (5.146)
Dieser zunächst artifizielle Ausdruck wird später noch präzisiert.
Im Folgenden wollen wir die Vertexfunktion in der Einschleifenordnung bestimmen.
Vor Beginn der eigentlichen Rechnung ist es sinnvoll, die Vertexfunktion
allgemein zu charakterisieren. Dazu überlegen wir uns zunächst,
analog zur Photonselbstenergie, welche Struktur das Resultat haben muss,
bzw. welches die allgemeinsten Lorentzstrukturen sind, in die wir Γ µ 0 zerlegen
können.
Γ µ 0 ist eine 4 × 4-Matrix im Raum der Spinoren und gleichzeitig ein Vektor
bzgl. des Lorentz-Index µ. Wie wir wissen, bilden die 16 Matrizen
½, γ 5 , γ µ , γ µ γ 5 , [γ µ ,γ ν ] ≡ 2 i σµν (5.147)
eine Basis für sämtliche Ausdrücke, die γ-Matrizen enthalten (vgl “Relativistische
Quantentheorie”). Diese Basisgrößen kann man nun mit den vorhandenen
Vektoren p µ und p ′µ multiplizieren, so dass sich folgende mögliche
Strukturen ergeben:
p µ , p ′ µ , γ µ , ̸pp ′ µ , ̸p ′ p µ , ̸pp µ , ̸p ′ p ′ µ ,
[γ µ , ̸p] , [ γ µ , ̸p ′] , [̸p, ̸p ′] p µ , [̸p, ̸p ′] p ′ µ ,
ǫ µνρσ γ ν γ 5 p ρ p ′ σ . (5.148)
Pseudovektorielle Größen wie γ 5 p µ sind nicht möglich, da die elektromagnetische
Wechselwirkung die Parität erhält. In einer allgemeinen Zerlegung von
Γ µ 0 treten die Strukturen (5.148) zwischen den Spinoren u(p,s) und ū(p′ ,s ′ )
auf (vgl. (5.144)). Nun gilt aber aufgrund der Bewegungsgleichung
̸p u(p,s) = m u(p,s), (5.149)
ū(p ′ ,s ′ )̸p ′ = m ū(p ′ ,s ′ ), (5.150)
so dass Größen, welche ̸p oder ̸p ′ enthalten, in einer Zerlegung von Γ µ 0 nicht
unabhängig sind. Dasselbe Argument führt zu dem Schluss, dass wegen
ǫ µνρσ γ ν γ 5 ∝ γ µ γ ρ γ σ + [Permutationen von µ, ρ, σ] (5.151)
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