Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Da der Integrand nur von kE 2 abhängt, ergibt die Integration über den Raumwinkel
dΩ (d) gerade die Oberfläche einer d-dimensionalen Kugel. Um diese
zu berechnen, betrachten wir das Gauß-Integral
(∫
(√ ) ∞
) d
d
π = dx e −x2 , (5.26)
−∞
welches man auch als d-dimensionales Integral auffassen kann, so dass
∫ ( )
(√ ) d
d∑
∫ ∫
π = d d x exp − = dxx d−1 e −x2 dΩ (d) = 1 ∫
2 Γ(d 2 ) dΩ (d) .
i=1
x 2 i
Somit nimmt das Ausgangsintegral (5.19) die folgende Form an:
(5.27)
A(a;∆) =
i
(4π) d 2
(−1) a ∫ ∞
Γ( d 2 ) ˜µ4−d
0
dk 2 E
(k 2 E ) d 2 −1
(k 2 E
+ ∆)a
. (5.28)
Führt man nun die Variablensubstitution x = durch, so geht A(a;∆)
kE 2 +∆
in
A(a;∆) =
i (−1) a ∫ 1
(4π) d 2 Γ( d 2 ) ∆ d 2 −a ˜µ 4−d dx x a−1− d d
2 ¯x 2 −1 (5.29)
0
über, wobei wir die Notation ¯x ≡ 1 − x eingeführt haben. Das Integral in
(5.29) ist bekannt als die Eulersche β-Funktion, für die gilt
∫ 1
Damit erhalten wir das Resultat
0
∆
dx x α−1¯x β−1 = Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β) . (5.30)
A(a;∆) =
i
(4π) d 2
(−1) a Γ(a − d 2 )
Γ(a)
˜µ 4−d ∆ d 2 −a
=
i Γ(a − d 2 ) ( ) d
∆ 2 −2
(4π) 2 Γ(a) 4π˜µ 2 (−∆) 2−a . (5.31)
Alle in der Vorlesung benötigten Schleifenintegrale können auf dieses Resultat
zurückgeführt werden. Um das Verhalten von A(a;∆) für verschiedene d
zu verstehen, müssen wir uns etwas genauer mit der Γ-Funktion beschäftigen.
Exkurs: Eigenschaften der Γ-Funktion Γ(x) =
210
∫ ∞
0
dt t x−1 e −t :