Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Renormierte Felder
Wie wir bereits wissen hat die Fourier-transformierte Zwei-Punkt-Funktion
des unrenormierten Feldes φ 0 im Limes p 2 → M 2 einen einfachen Pol, d.h.
〈Ω|T(φ 0 (x 1 )φ 0 (x 2 )) |Ω〉
p 2 →M 2
−→
iZ
p 2 + [nicht singuläre Terme] .
− M2 (5.63)
Das Residuum an der Stelle p 2 = M 2 definiert die (on-shell) Feldrenormierungskonstante
Z, welche im Allgemeinen divergent ist. Aus diesem Grund
definieren wir das (on-shell) renormierte Feld durch
φ 0 ≡ √ Zφ. (5.64)
Berechnet man nun die Zwei-Punkt-Funktion mit φ statt mit φ 0 , so hebt
sich für p 2 → M 2 das Residuum gerade heraus.
Desweiteren führen wie die renormierten Green-Funktionen ein, welche sich
von den unrenormierten dadurch unterscheiden, dass man sie aus den renormierten
Feldern bestimmt, d.h.
G (n) (x 1 ,...,x n ) = 〈Ω|T(φ(x 1 )... φ(x n )) |Ω〉
=
(√
Z
) −n
G
(n)
0 (x 1,...,x n ) =
(√
Z
) −n
〈Ω|T(φ0 (x 1 )... φ 0 (x 2 )) |Ω〉.
(5.65)
Zur Berechnung von Streumatrixelementen benötigen wir die amputierte
n-Punkt-Funktion. Diese erhält man aus G (n) indem man die renormierte
Zwei-Punkt-Funktion n-mal herausdividiert, so dass
G (n)
amp(x 1 ,...,x n ) =
(√
Z
) n
G
(n)
0 amp (x 1,... ,x n ). (5.66)
Die rechte Seite ist genau die Kombination die im LSZ-Theorem auftritt,
d.h. man benötigt keinen Faktor √ Z in der LSZ-Gleichung, wenn man mit
der renormierten Green-Funktion arbeitet.
Die Berechnung der renormierten Green-Funktionen in der “nackten” Störungstheorie
gliedert sich in folgende Schritte:
(1) Zunächst berechne man die Zusammenhänge M(M 0 ,λ 0 ), λ(M 0 ,λ 0 )
und Z(M 0 ,λ 0 ) bis zu der benötigten Ordnung in λ 0 unter der Verwendung
irgendeiner Regularisierung. (λ ist durch eine physikalische
Größe zu definieren.)
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