Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

weiterhin p 2 = p ′2 = m 2 ), dann können wir Γ µ genau wie die unrenormierte
Vertexfunktion wie folgt zerlegen:
Γ µ (p ′ ,p) = γ µ F 1 (q 2 ,m) + iσµν (p ′ − p) ν
2m
Wie wir oben gezeigt haben, ist
F 2 (q 2 ,m). (5.188)
F 1 (q 2 = 0,m) = Z 2 F 0 1 (q 2 = 0,m) = 1 (5.189)
zu allen Ordnungen in der Feinstrukturkonstanten α. Im Allgemeinen erhält
man für q 2 ≠ 0 jedoch eine Korrektur, d.h.
F 1 (q 2 ,m) ≡ Z 2 F 0 1 (q2 ,m) = 1 + O(α), (5.190)
F 2 (q 2 ,m) ≡ Z 2 F 0 2 (q2 ,m) = O(α) (5.191)
da der Vertex in niedrigster Ordnung gerade γ µ ist.
Im Folgenden wollen wir zeigen, dass F 2 für q 2 = 0 gerade das anomale
magnetische Moment eines Fermions liefert. Experimentell kann man das
magnetische Moment eines Elektrons oder Muons beispielsweise bestimmen,
indem man die Spin-Präzession, welche mit dem magnetischen Moment verknüpft
ist, in einem äußeren Magnetfeld misst. Da es sich bei dem äußeren
Feld typischerweise um ein makroskopisches Feld mit kleiner Frequenz handelt,
wird die Kopplung des Elektrons an ein klassisches elektromagnetisches
Feld betrachtet. Auf dem Niveau der Lagrange-Dichte bedeutet dies, dass
wir einen zusätzlichen Wechselwirkungsterm der Form
L int = −eJ µ 0 A µ cl = e ¯ψ 0 ̸A cl ψ 0 + ... (5.192)
zur üblichen QED-Lagrange-Dichte addieren müssen, wobei ̸A cl als nicht
quantisiert aufgefasst wird. Wegen e 0 A µ 0 = eAµ tritt hier die renormierte
Kopplung an das klassische Feld im on-shell Schema auf. J µ 0 ist der oben
diskutierte verbesserte elektromagnetische Strom.
Da (5.187) die Streuung an einem quantisierten Photon beschreibt, betrachten
wir stattdessen das Matrixelement
∫
〈e − (p ′ ,s ′ )|H int |e − (p,s)〉 = e d 3 ⃗x 〈e − (p ′ ,s ′ )|J µ 0 (x) |e− (p,s)〉A µ cl (x),
(5.193)
248